Analysis Beispiele

$\int (\frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{2 x}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int \frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{2 x} d x$

Schritt 2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{3 x^{2} + 4 x + 1}{x} d x$

Schritt 3

Dividiere $3 x^{2} + 4 x + 1$ durch $x$ .

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Schritt 3.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$0$

$3 x^{2}$

$4 x$

$1$

Schritt 3.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $3 x^{2}$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$3 x$
	$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$

Schritt 3.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			+	$3 x^{2}$	+	$0$

Schritt 3.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $3 x^{2} + 0$

				$3 x$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$

Schritt 3.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$

Schritt 3.6

Ziehe die nächsten Terme vom ursprünglichen Dividenden nach unten in den aktuellen Dividenden.

				$3 x$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	+	$1$

Schritt 3.7

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $4 x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

				$3 x$	+	$4$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	+	$1$

Schritt 3.8

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$3 x$	+	$4$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	+	$1$
					+	$4 x$	+	$0$

Schritt 3.9

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $4 x + 0$

				$3 x$	+	$4$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$0$

Schritt 3.10

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$3 x$	+	$4$
$x$	+	$0$		$3 x^{2}$	+	$4 x$	+	$1$
			-	$3 x^{2}$	-	$0$
					+	$4 x$	+	$1$
					-	$4 x$	-	$0$
							+	$1$

Schritt 3.11

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$\frac{1}{2} \int 3 x + 4 + \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} (\int 3 x d x + \int 4 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 5

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (3 \int x d x + \int 4 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 4 d x + \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 7

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} (3 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 4 x + C + \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C + \int \frac{1}{x} d x)$

Schritt 9

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} (3 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 4 x + C + \ln (| x |) + C)$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (\frac{3 x^{2}}{2} + 4 x + \ln (| x |)) + C$

Schritt 10.2

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} (\frac{3}{2} x^{2} + 4 x + \ln (| x |)) + C$