Analysis Beispiele

$f (x) = - | x | + 7$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- | x | + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- | x |] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [- | x |] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- | x |]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- | x |$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [| x |]$ .

$- \frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.2.2

Die Ableitung von $| x |$ nach $x$ ist $\frac{x}{| x |}$ .

$- \frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 1.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{x}{| x |} + 0$

Schritt 1.3.2

Addiere $- \frac{x}{| x |}$ und $0$ .

$- \frac{x}{| x |}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{x}{| x |} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = | x |$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | \cdot 1 - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $| x |$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - x \frac{d}{d x} | x |}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.4

Die Ableitung von $| x |$ nach $x$ ist $\frac{x}{| x |}$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - x \frac{x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.5

Kombiniere $\frac{x}{| x |}$ und $x$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x \cdot x}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{1 + 1}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.9

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Schritt 2.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + \frac{x}{| x |} \cdot 0$

Schritt 2.11

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.11.1

Mutltipliziere $\frac{x}{| x |}$ mit $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}} + 0$

Schritt 2.11.2

Addiere $- \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{| x | - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12

Vereinfache.

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Schritt 2.12.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.12.1.1

Um $| x |$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{| x |}{| x |}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x | | x |}{| x |} - \frac{x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x | | x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12.1.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.12.1.3.1

Multipliziere $| x | | x |$ .

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Schritt 2.12.1.3.1.1

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12.1.3.1.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12.1.3.1.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x \cdot x | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12.1.3.1.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{1 + 1} | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12.1.3.1.5

Addiere $1$ und $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{| x^{2} | - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12.1.3.2

Entferne nicht-negative Terme aus dem Absolutwert.

$f'' (x) = - \frac{\frac{x^{2} - x^{2}}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12.1.3.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{0}{| x |}}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12.1.4

Dividiere $0$ durch $| x |$ .

$f'' (x) = - \frac{0}{{| x |}^{2}}$

Schritt 2.12.2

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$f'' (x) = - \frac{0}{x^{2}}$

Schritt 2.12.3

Dividiere $0$ durch $x^{2}$ .

$f'' (x) = - 0$

Schritt 2.12.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$f'' (x) = 0$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$- \frac{x}{| x |} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- | x | + 7$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- | x |] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [- | x |] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 4.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- | x |]$ .

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Schritt 4.1.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- | x |$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [| x |]$ .

$- \frac{d}{d x} [| x |] + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 4.1.2.2

Die Ableitung von $| x |$ nach $x$ ist $\frac{x}{| x |}$ .

$- \frac{x}{| x |} + \frac{d}{d x} [7]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.1.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $7$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{x}{| x |} + 0$

Schritt 4.1.3.2

Addiere $- \frac{x}{| x |}$ und $0$ .

$f' (x) = - \frac{x}{| x |}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- \frac{x}{| x |}$ .

$- \frac{x}{| x |}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- \frac{x}{| x |} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$- \frac{x}{| x |} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$x = 0$

Schritt 5.3

Schließe die Lösungen aus, die $- \frac{x}{| x |} = 0$ nicht erfüllen.

$Keine Lösung$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{x}{| x |}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$| x | = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$x = \pm 0$

Schritt 6.2.2

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 0$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 0$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$0$

Schritt 9

Da es mindestens einen Punkt mit $0$ oder eine nicht definierte zweite Ableitung gibt, wende den ersten Ableitungstest an.

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Schritt 9.1

Teile $(- \infty, \infty)$ in separate Intervalle um die $x$ -Werte herum auf, die die erste Ableitung zu $0$ oder nicht definiert machen.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 9.2

Setze eine beliebige Zahl, wie $- 2$ , aus dem Intervall $(- \infty, 0)$ in die erste Ableitung $- \frac{x}{| x |}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 9.2.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2}{| - 2 |}$

Schritt 9.2.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.2.2.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 2$ und $0$ ist $2$ .

$f' (- 2) = - \frac{- 2}{2}$

Schritt 9.2.2.2

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$f' (- 2) = 1$

Schritt 9.2.2.3

Die endgültige Lösung ist $1$ .

$1$

Schritt 9.3

Setze eine beliebige Zahl, wie $2$ , aus dem Intervall $(0, \infty)$ in die erste Ableitung $- \frac{x}{| x |}$ ein, um zu überprüfen, ob das Ergebnis negativ oder positiv ist.

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Schritt 9.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2$ .

$f' (2) = - \frac{2}{| 2 |}$

Schritt 9.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 9.3.2.1

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $2$ ist $2$ .

$f' (2) = - \frac{2}{2}$

Schritt 9.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 9.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f' (2) = - \frac{2}{2}$

Schritt 9.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f' (2) = - 1 \cdot 1$

Schritt 9.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f' (2) = - 1$

Schritt 9.3.2.4

Die endgültige Lösung ist $- 1$ .

$- 1$

Schritt 9.4

Da die erste Ableitung um $x = 0$ herum das Vorzeichen von positiv zu negativ gewechselt hat, ist $x = 0$ ein lokales Maximum.

$x = 0$ ist ein lokales Maximum

Schritt 10