Analysis Beispiele

$\int_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{36 - x^{2}}} d x$

Schritt 1

Sei $x = 6 \sin (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = 6 \cos (t) d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $6 \cos (t)$ positiv ist.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}} (6 \cos (t)) d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{36 - {(6 \sin (t))}^{2}}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $6 \sin (t)$ an.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - (6^{2} \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.1.2

Potenziere $6$ mit $2$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - (36 \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.1.3

Mutltipliziere $36$ mit $- 1$ .

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 - 36 \sin^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.2

Faktorisiere $36$ aus $36$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1) - 36 \sin^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.3

Faktorisiere $36$ aus $- 36 \sin^{2} (t)$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.4

Faktorisiere $36$ aus $36 (1) + 36 (- \sin^{2} (t))$ heraus.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 (1 - \sin^{2} (t))}} (6 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.5

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{36 \cos^{2} (t)}} (6 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.6

Schreibe $36 \cos^{2} (t)$ als ${(6 \cos (t))}^{2}$ um.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{\sqrt{{(6 \cos (t))}^{2}}} (6 \cos (t)) d t$

Schritt 2.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{6 \cos (t)} (6 \cos (t)) d t$

Schritt 2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6 \cos (t)$ .

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Schritt 2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} \frac{6 \sin (t)}{6 \cos (t)} (6 \cos (t)) d t$

Schritt 2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\int_{0}^{\frac{π}{6}} 6 \sin (t) d t$

Schritt 3

Da $6$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$6 \int_{0}^{\frac{π}{6}} \sin (t) d t$

Schritt 4

Das Integral von $\sin (t)$ nach $t$ ist $- \cos (t)$ .

$6 (- \cos (t)]_{0}^{\frac{π}{6}})$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Berechne $- \cos (t)$ bei $\frac{π}{6}$ und $0$ .

$6 ((- \cos (\frac{π}{6})) + \cos (0))$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Der genau Wert von $\cos (\frac{π}{6})$ ist $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos (0))$

Schritt 5.2.2

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2} + 1)$

Schritt 5.3

Vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$6 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + 6 \cdot 1$

Schritt 5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ in den Zähler.

$6 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

Schritt 5.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 (3) \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

Schritt 5.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot 3 \frac{- \sqrt{3}}{2} + 6 \cdot 1$

Schritt 5.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$3 (- \sqrt{3}) + 6 \cdot 1$

Schritt 5.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 3 \sqrt{3} + 6 \cdot 1$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$- 3 \sqrt{3} + 6$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- 3 \sqrt{3} + 6$

Dezimalform:

$0.80384757 \dots$