Analysis Beispiele

$| x^{2} - 4 x |$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = | x |$ und $g (x) = x^{2} - 4 x$ .

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Schritt 1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2} - 4 x$ .

$\frac{d}{d u} [| u |] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x]$

Schritt 1.2

Die Ableitung von $| u |$ nach $u$ ist $\frac{u}{| u |}$ .

$\frac{u}{| u |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x]$

Schritt 1.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} - 4 x$ .

$\frac{x^{2} - 4 x}{| x^{2} - 4 x |} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x]$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$\frac{x^{2} - 4 x}{| x^{2} - 4 x |} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{x^{2} - 4 x}{| x^{2} - 4 x |} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x])$

Schritt 2.3

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x^{2} - 4 x}{| x^{2} - 4 x |} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x^{2} - 4 x}{| x^{2} - 4 x |} (2 x - 4 \cdot 1)$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$\frac{x^{2} - 4 x}{| x^{2} - 4 x |} (2 x - 4)$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Stelle die Faktoren von $\frac{x^{2} - 4 x}{| x^{2} - 4 x |} (2 x - 4)$ um.

$(2 x - 4) \frac{x^{2} - 4 x}{| x^{2} - 4 x |}$

Schritt 3.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 4 x$ heraus.

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Schritt 3.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$(2 x - 4) \frac{x \cdot x - 4 x}{| x^{2} - 4 x |}$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$(2 x - 4) \frac{x \cdot x + x \cdot - 4}{| x^{2} - 4 x |}$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 4$ heraus.

$(2 x - 4) \frac{x (x - 4)}{| x^{2} - 4 x |}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 4 x$ heraus.

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$(2 x - 4) \frac{x (x - 4)}{| x \cdot x - 4 x |}$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$(2 x - 4) \frac{x (x - 4)}{| x \cdot x + x \cdot - 4 |}$

Schritt 3.3.1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 4$ heraus.

$(2 x - 4) \frac{x (x - 4)}{| x (x - 4) |}$

Schritt 3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(2 x - 4) \frac{x (x - 4)}{| x \cdot x + x \cdot - 4 |}$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(2 x - 4) \frac{x (x - 4)}{| x^{2} + x \cdot - 4 |}$

Schritt 3.3.4

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$(2 x - 4) \frac{x (x - 4)}{| x^{2} - 4 \cdot x |}$

Schritt 3.3.5

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} - 4 x$ heraus.

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Schritt 3.3.5.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$(2 x - 4) \frac{x (x - 4)}{| x \cdot x - 4 x |}$

Schritt 3.3.5.2

Faktorisiere $x$ aus $- 4 x$ heraus.

$(2 x - 4) \frac{x (x - 4)}{| x \cdot x + x \cdot - 4 |}$

Schritt 3.3.5.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot x + x \cdot - 4$ heraus.

$(2 x - 4) \frac{x (x - 4)}{| x (x - 4) |}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $2 x - 4$ mit $\frac{x (x - 4)}{| x (x - 4) |}$ .

$\frac{(2 x - 4) (x (x - 4))}{| x (x - 4) |}$

Schritt 3.5

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 4$ heraus.

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Schritt 3.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{(2 (x) - 4) x (x - 4)}{| x (x - 4) |}$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 2) x (x - 4)}{| x (x - 4) |}$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $2$ aus $2 x + 2 \cdot - 2$ heraus.

$\frac{2 (x - 2) x (x - 4)}{| x (x - 4) |}$

Schritt 3.6

Stelle die Faktoren in $\frac{2 (x - 2) x (x - 4)}{| x (x - 4) |}$ um.

$\frac{2 x (x - 2) (x - 4)}{| x (x - 4) |}$