Analysis Beispiele

$\int_{0}^{2} (4 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{0}^{2} 4 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{2} 4 x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x$

Schritt 3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$4 \int_{0}^{2} x^{3} d x + \int_{0}^{2} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$4 (\frac{1}{4} x^{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x$

Schritt 5

Kombiniere $\frac{1}{4}$ und $x^{4}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} - 3 x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x$

Schritt 6

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 3 \int_{0}^{2} x^{2} d x + \int_{0}^{2} 2 x d x$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x$

Schritt 8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + \int_{0}^{2} 2 x d x$

Schritt 9

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 \int_{0}^{2} x d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{0}^{2})$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$4 (\frac{x^{4}}{4}]_{0}^{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Schritt 11.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 11.2.1

Berechne $\frac{x^{4}}{4}$ bei $2$ und $0$ .

$4 ((\frac{2^{4}}{4}) - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{x^{3}}{3}]_{0}^{2}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Schritt 11.2.2

Berechne $\frac{x^{3}}{3}$ bei $2$ und $0$ .

$4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{0}^{2})$

Schritt 11.2.3

Berechne $\frac{x^{2}}{2}$ bei $2$ und $0$ .

$4 (\frac{2^{4}}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4

Vereinfache.

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Schritt 11.2.4.1

Potenziere $2$ mit $4$ .

$4 (\frac{16}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $4$ .

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Schritt 11.2.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.4.2.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 (1)} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (\frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 1} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (\frac{4}{1} - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$4 (4 - \frac{0^{4}}{4}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 (4 - \frac{0}{4}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $4$ .

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Schritt 11.2.4.4.1

Faktorisiere $4$ aus $0$ heraus.

$4 (4 - \frac{4 (0)}{4}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.4.4.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$4 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 (4 - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 (4 - \frac{0}{1}) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.4.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$4 (4 - 0) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$4 (4 + 0) - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.6

Addiere $4$ und $0$ .

$4 \cdot 4 - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.7

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$16 - 3 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.8

Potenziere $2$ mit $3$ .

$16 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{0^{3}}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.9

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$16 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $3$ .

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Schritt 11.2.4.10.1

Faktorisiere $3$ aus $0$ heraus.

$16 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{3 (0)}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.4.10.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$16 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$16 - 3 (\frac{8}{3} - \frac{0}{1}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.10.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$16 - 3 (\frac{8}{3} - 0) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$16 - 3 (\frac{8}{3} + 0) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.12

Addiere $\frac{8}{3}$ und $0$ .

$16 - 3 (\frac{8}{3}) + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.13

Kombiniere $- 3$ und $\frac{8}{3}$ .

$16 + \frac{- 3 \cdot 8}{3} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.14

Mutltipliziere $- 3$ mit $8$ .

$16 + \frac{- 24}{3} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.15

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 24$ und $3$ .

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Schritt 11.2.4.15.1

Faktorisiere $3$ aus $- 24$ heraus.

$16 + \frac{3 \cdot - 8}{3} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.15.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.4.15.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$16 + \frac{3 \cdot - 8}{3 (1)} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.15.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$16 + \frac{3 \cdot - 8}{3 \cdot 1} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.15.2.3

Forme den Ausdruck um.

$16 + \frac{- 8}{1} + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.15.2.4

Dividiere $- 8$ durch $1$ .

$16 - 8 + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.16

Subtrahiere $8$ von $16$ .

$8 + 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.17

Potenziere $2$ mit $2$ .

$8 + 2 (\frac{4}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.18

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 11.2.4.18.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$8 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.18.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.4.18.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$8 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.18.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 + 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.18.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 + 2 (\frac{2}{1} - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.18.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$8 + 2 (2 - \frac{0^{2}}{2})$

Schritt 11.2.4.19

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$8 + 2 (2 - \frac{0}{2})$

Schritt 11.2.4.20

Kürze den gemeinsamen Teiler von $0$ und $2$ .

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Schritt 11.2.4.20.1

Faktorisiere $2$ aus $0$ heraus.

$8 + 2 (2 - \frac{2 (0)}{2})$

Schritt 11.2.4.20.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 11.2.4.20.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$8 + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 11.2.4.20.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$8 + 2 (2 - \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1})$

Schritt 11.2.4.20.2.3

Forme den Ausdruck um.

$8 + 2 (2 - \frac{0}{1})$

Schritt 11.2.4.20.2.4

Dividiere $0$ durch $1$ .

$8 + 2 (2 - 0)$

Schritt 11.2.4.21

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$8 + 2 (2 + 0)$

Schritt 11.2.4.22

Addiere $2$ und $0$ .

$8 + 2 \cdot 2$

Schritt 11.2.4.23

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$8 + 4$

Schritt 11.2.4.24

Addiere $8$ und $4$ .

$12$

Schritt 12