Analysis Beispiele

$\frac{2}{x} + \frac{1}{4 x^{2}}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{2}{x} + \frac{1}{4 x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x}]$ .

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Schritt 2.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2}{x}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$2 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$2 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x^{2}}]$ .

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Schritt 3.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4 x^{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Schritt 3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{1}{4} (- 2 x^{- 3})$

Schritt 3.10

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{4}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{- 2}{4} x^{- 3}$

Schritt 3.11

Kombiniere $\frac{- 2}{4}$ und $x^{- 3}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{- 2 x^{- 3}}{4}$

Schritt 3.12

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 x^{- 2} + \frac{- 2}{4 x^{3}}$

Schritt 3.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 3.13.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$- 2 x^{- 2} + \frac{2 (- 1)}{4 x^{3}}$

Schritt 3.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x^{3}$ heraus.

$- 2 x^{- 2} + \frac{2 (- 1)}{2 (2 x^{3})}$

Schritt 3.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 x^{- 2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (2 x^{3})}$

Schritt 3.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 x^{- 2} + \frac{- 1}{2 x^{3}}$

Schritt 3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 2 x^{- 2} - \frac{1}{2 x^{3}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{3}}$

Schritt 4.2

Vereine die Terme

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Schritt 4.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 2}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{3}}$

Schritt 4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x^{2}} - \frac{1}{2 x^{3}}$