Analysis Beispiele

$3 x^{2} + 24 x - y^{2} + 2 y = - 44$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (3 x^{2} + 24 x - y^{2} + 2 y) = \frac{d}{d x} (- 44)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 24 x - y^{2} + 2 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [24 x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $24$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $24 x$ nach $x$ gleich $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 24 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x + 24 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $24$ mit $1$ .

$6 x + 24 + \frac{d}{d x} [- y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$6 x + 24 - \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.4.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$6 x + 24 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.4.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$6 x + 24 - (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.4.2.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$6 x + 24 - (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.4.3

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 x + 24 - (2 y y') + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$6 x + 24 - 2 y y' + \frac{d}{d x} [2 y]$

Schritt 2.5

Berechne $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

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Schritt 2.5.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$6 x + 24 - 2 y y' + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.5.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$6 x + 24 - 2 y y' + 2 y'$

Schritt 2.6

Stelle die Terme um.

$- 2 y y' + 6 x + 2 y' + 24$

Schritt 3

Da $- 44$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 44$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$- 2 y y' + 6 x + 2 y' + 24 = 0$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $y'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $6 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y y' + 2 y' + 24 = - 6 x$

Schritt 5.1.2

Subtrahiere $24$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 y y' + 2 y' = - 6 x - 24$

Schritt 5.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $- 2 y y' + 2 y'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $2 y'$ aus $- 2 y y'$ heraus.

$2 y' (- y) + 2 y' = - 6 x - 24$

Schritt 5.2.2

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y'$ heraus.

$2 y' (- y) + 2 y' \cdot 1 = - 6 x - 24$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $2 y'$ aus $2 y' (- y) + 2 y' \cdot 1$ heraus.

$2 y' (- y + 1) = - 6 x - 24$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (- y + 1) = - 6 x - 24$ durch $2 (- y + 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y' (- y + 1) = - 6 x - 24$ durch $2 (- y + 1)$ .

$\frac{2 y' (- y + 1)}{2 (- y + 1)} = \frac{- 6 x}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y' (- y + 1)}{2 (- y + 1)} = \frac{- 6 x}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Schritt 5.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (- y + 1)}{- y + 1} = \frac{- 6 x}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Schritt 5.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- y + 1$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (- y + 1)}{- y + 1} = \frac{- 6 x}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Schritt 5.3.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 6 x}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x$ heraus.

$y' = \frac{2 (- 3 x)}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{2 (- 3 x)}{2 (- y + 1)} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Schritt 5.3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{- 3 x}{- y + 1} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Schritt 5.3.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 x}{- y + 1} + \frac{- 24}{2 (- y + 1)}$

Schritt 5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 24$ und $2$ .

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Schritt 5.3.3.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 24$ heraus.

$y' = - \frac{3 x}{- y + 1} + \frac{2 \cdot - 12}{2 (- y + 1)}$

Schritt 5.3.3.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{3 x}{- y + 1} + \frac{2 \cdot - 12}{2 (- y + 1)}$

Schritt 5.3.3.1.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{3 x}{- y + 1} + \frac{- 12}{- y + 1}$

Schritt 5.3.3.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 x}{- y + 1} - \frac{12}{- y + 1}$

Schritt 5.3.3.2

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.3.3.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = \frac{- 3 x - 12}{- y + 1}$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x - 12$ heraus.

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Schritt 5.3.3.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3 x$ heraus.

$y' = \frac{3 (- x) - 12}{- y + 1}$

Schritt 5.3.3.2.2.2

Faktorisiere $3$ aus $- 12$ heraus.

$y' = \frac{3 (- x) + 3 (- 4)}{- y + 1}$

Schritt 5.3.3.2.2.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (- x) + 3 (- 4)$ heraus.

$y' = \frac{3 (- x - 4)}{- y + 1}$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y' = \frac{3 (- (x) - 4)}{- y + 1}$

Schritt 5.3.3.2.4

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$y' = \frac{3 (- (x) - 1 (4))}{- y + 1}$

Schritt 5.3.3.2.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (4)$ heraus.

$y' = \frac{3 (- (x + 4))}{- y + 1}$

Schritt 5.3.3.2.6

Schreibe $- (x + 4)$ als $- 1 (x + 4)$ um.

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- y + 1}$

Schritt 5.3.3.2.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- y$ heraus.

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- (y) + 1}$

Schritt 5.3.3.2.8

Schreibe $1$ als $- 1 (- 1)$ um.

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- (y) - 1 (- 1)}$

Schritt 5.3.3.2.9

Faktorisiere $- 1$ aus $- (y) - 1 (- 1)$ heraus.

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- (y - 1)}$

Schritt 5.3.3.2.10

Schreibe $- (y - 1)$ als $- 1 (y - 1)$ um.

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- 1 (y - 1)}$

Schritt 5.3.3.2.11

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{3 (- 1 (x + 4))}{- 1 (y - 1)}$

Schritt 5.3.3.2.12

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{3 (x + 4)}{y - 1}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 (x + 4)}{y - 1}$