Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{θ^{2}} \sin (\frac{1}{θ}) \cos (\frac{1}{θ}) d θ$

Schritt 1

Vereinfache.

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Schritt 1.1

Kombiniere $\sin (\frac{1}{θ})$ und $\frac{1}{θ^{2}}$ .

$\int \frac{\sin (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} \cdot \cos (\frac{1}{θ}) d θ$

Schritt 1.2

Kombiniere $\frac{\sin (\frac{1}{θ})}{θ^{2}}$ und $\cos (\frac{1}{θ})$ .

$\int \frac{\sin (\frac{1}{θ}) \cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$

Schritt 2

Sei $u_{2} = \sin (\frac{1}{θ})$ . Dann ist $d u_{2} = - \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$ , folglich $- d u_{2} = \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}} d θ$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u_{2} = \sin (\frac{1}{θ})$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d θ}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $\sin (\frac{1}{θ})$ .

$\frac{d}{d θ} [\sin (\frac{1}{θ})]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ ist $f' (g (θ)) g' (θ)$ , mit $f (θ) = \sin (θ)$ und $g (θ) = \frac{1}{θ}$ .

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Schritt 2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $\frac{1}{θ}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

Schritt 2.1.2.2

Die Ableitung von $\sin (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

Schritt 2.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{1}{θ}$ .

$\cos (\frac{1}{θ}) \frac{d}{d θ} [\frac{1}{θ}]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.1.3.1

Schreibe $\frac{1}{θ}$ als $θ^{- 1}$ um.

$\cos (\frac{1}{θ}) \frac{d}{d θ} [θ^{- 1}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ gleich $n θ^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\cos (\frac{1}{θ}) (- θ^{- 2})$

Schritt 2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 2.1.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos (\frac{1}{θ}) (- \frac{1}{θ^{2}})$

Schritt 2.1.4.2

Kombiniere $\cos (\frac{1}{θ})$ und $\frac{1}{θ^{2}}$ .

$- \frac{\cos (\frac{1}{θ})}{θ^{2}}$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\int - u_{2} d u_{2}$

Schritt 3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int u_{2} d u_{2}$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u_{2}$ nach $u_{2}$ gleich $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Schritt 5

Schreibe $- (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ als $- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ um.

$- \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Schritt 6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $\sin (\frac{1}{θ})$ .

$- \frac{1}{2} \sin^{2} (\frac{1}{θ}) + C$