Analysis Beispiele

$lim_{a \to 2} \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a^{2} - 4}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{a \to 2} a^{2} - 4 a + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $a$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{a \to 2} a^{2} - lim_{a \to 2} 4 a + lim_{a \to 2} 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $a^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{a \to 2} a)}^{2} - lim_{a \to 2} 4 a + lim_{a \to 2} 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.3

Ziehe den Term $4$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $a$ ist.

$\frac{{(lim_{a \to 2} a)}^{2} - 4 lim_{a \to 2} a + lim_{a \to 2} 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $a$ sich $2$ annähert.

$\frac{{(lim_{a \to 2} a)}^{2} - 4 lim_{a \to 2} a + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $a$ .

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Schritt 1.1.2.5.1

Berechne den Grenzwert von $a$ durch Einsetzen von $2$ für $a$ .

$\frac{2^{2} - 4 lim_{a \to 2} a + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.5.2

Berechne den Grenzwert von $a$ durch Einsetzen von $2$ für $a$ .

$\frac{2^{2} - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.6.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.6.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$\frac{4 - 8 + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.6.2

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$\frac{- 4 + 4}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Schritt 1.1.2.6.3

Addiere $- 4$ und $4$ .

$\frac{0}{lim_{a \to 2} a^{2} - 4}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $a$ sich an $2$ annähert.

$\frac{0}{lim_{a \to 2} a^{2} - lim_{a \to 2} 4}$

Schritt 1.1.3.1.2

Ziehe den Exponenten $2$ von $a^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{0}{{(lim_{a \to 2} a)}^{2} - lim_{a \to 2} 4}$

Schritt 1.1.3.1.3

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $a$ sich $2$ annähert.

$\frac{0}{{(lim_{a \to 2} a)}^{2} - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $a$ durch Einsetzen von $2$ für $a$ .

$\frac{0}{2^{2} - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.3.3.1.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{a \to 2} \frac{a^{2} - 4 a + 4}{a^{2} - 4} = lim_{a \to 2} \frac{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4 a + 4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{a \to 2} \frac{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4 a + 4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a^{2} - 4 a + 4$ nach $a$ $\frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [4]$ .

$lim_{a \to 2} \frac{\frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a + \frac{d}{d a} [- 4 a] + \frac{d}{d a} [4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.4

Berechne $\frac{d}{d a} [- 4 a]$ .

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Schritt 1.3.4.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $- 4 a$ nach $a$ gleich $- 4 \frac{d}{d a} [a]$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4 \frac{d}{d a} [a] + \frac{d}{d a} [4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d a} [4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.4.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4 + \frac{d}{d a} [4]}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.5

Da $4$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $a$ gleich $0$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4 + 0}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.6

Addiere $2 a - 4$ und $0$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4}{\frac{d}{d a} [a^{2} - 4]}$

Schritt 1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $a^{2} - 4$ nach $a$ $\frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4]$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4}{\frac{d}{d a} [a^{2}] + \frac{d}{d a} [- 4]}$

Schritt 1.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ gleich $n a^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4}{2 a + \frac{d}{d a} [- 4]}$

Schritt 1.3.9

Da $- 4$ konstant bezüglich $a$ ist, ist die Ableitung von $- 4$ bezüglich $a$ gleich $0$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4}{2 a + 0}$

Schritt 1.3.10

Addiere $2 a$ und $0$ .

$lim_{a \to 2} \frac{2 a - 4}{2 a}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 a - 4$ und $2$ .

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Schritt 1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 a$ heraus.

$lim_{a \to 2} \frac{2 (a) - 4}{2 a}$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$lim_{a \to 2} \frac{2 (a) + 2 \cdot - 2}{2 a}$

Schritt 1.4.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (a) + 2 (- 2)$ heraus.

$lim_{a \to 2} \frac{2 (a - 2)}{2 a}$

Schritt 1.4.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $2 a$ heraus.

$lim_{a \to 2} \frac{2 (a - 2)}{2 (a)}$

Schritt 1.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{a \to 2} \frac{2 (a - 2)}{2 a}$

Schritt 1.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{a \to 2} \frac{a - 2}{a}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $a$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{a \to 2} a - 2}{lim_{a \to 2} a}$

Schritt 2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $a$ sich an $2$ annähert.

$\frac{lim_{a \to 2} a - lim_{a \to 2} 2}{lim_{a \to 2} a}$

Schritt 2.3

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $a$ sich $2$ annähert.

$\frac{lim_{a \to 2} a - 1 \cdot 2}{lim_{a \to 2} a}$

Schritt 3

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $a$ .

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $a$ durch Einsetzen von $2$ für $a$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{a \to 2} a}$

Schritt 3.2

Berechne den Grenzwert von $a$ durch Einsetzen von $2$ für $a$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 - 1 \cdot 2$ und $2$ .

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Schritt 4.1.1

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$\frac{- 1 (- 2) - 1 \cdot 2}{2}$

Schritt 4.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 \cdot 2$ heraus.

$\frac{- 1 (- 2) - 1 (2)}{2}$

Schritt 4.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 2) - 1 (2)$ heraus.

$\frac{- 1 (- 2 + 2)}{2}$

Schritt 4.1.4

Faktorisiere $2$ aus $- 1 (- 2 + 2)$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 1))}{2}$

Schritt 4.1.5

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 1))}{2 (1)}$

Schritt 4.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 1 (- 1 + 1))}{2 \cdot 1}$

Schritt 4.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1 (- 1 + 1)}{1}$

Schritt 4.1.5.4

Dividiere $- 1 (- 1 + 1)$ durch $1$ .

$- 1 (- 1 + 1)$

Schritt 4.2

Schreibe $- 1 (- 1 + 1)$ als $- (- 1 + 1)$ um.

$- (- 1 + 1)$

Schritt 4.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$- 0$

Schritt 4.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0$