Analysis Beispiele

$f (x) = 2 \sin (6 x + 3) - 4 x$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 2 \sin (6 x + 3) - 4 x d x$

Schritt 3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 \sin (6 x + 3) d x + \int - 4 x d x$

Schritt 4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \sin (6 x + 3) d x + \int - 4 x d x$

Schritt 5

Sei $u = 6 x + 3$ . Dann ist $d u = 6 d x$ , folglich $\frac{1}{6} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = 6 x + 3$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $6 x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [6 x + 3]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x + 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 5.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Schritt 5.1.3.1

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ nach $x$ gleich $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 5.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 5.1.3.3

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [3]$

Schritt 5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 + 0$

Schritt 5.1.4.2

Addiere $6$ und $0$ .

$6$

Schritt 5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \sin (u) \frac{1}{6} d u + \int - 4 x d x$

Schritt 6

Kombiniere $\sin (u)$ und $\frac{1}{6}$ .

$2 \int \frac{\sin (u)}{6} d u + \int - 4 x d x$

Schritt 7

Da $\frac{1}{6}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{6}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{6} \int \sin (u) d u) + \int - 4 x d x$

Schritt 8

Vereinfache.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $2$ .

$\frac{2}{6} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Schritt 8.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $6$ .

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Schritt 8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{6} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Schritt 8.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Schritt 8.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Schritt 8.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \int \sin (u) d u + \int - 4 x d x$

Schritt 9

Das Integral von $\sin (u)$ nach $u$ ist $- \cos (u)$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) + \int - 4 x d x$

Schritt 10

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 4$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) - 4 \int x d x$

Schritt 11

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} (- \cos (u) + C) - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 12

Vereinfache.

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Schritt 12.1

Vereinfache.

$- \frac{\cos (u)}{3} - 4 (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 12.2

Vereinfache.

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Schritt 12.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} - 4 \frac{x^{2}}{2} + C$

Schritt 12.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{- 4 x^{2}}{2} + C$

Schritt 12.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 12.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{2}$ heraus.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2} + C$

Schritt 12.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 (1)} + C$

Schritt 12.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{2 (- 2 x^{2})}{2 \cdot 1} + C$

Schritt 12.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{\cos (u)}{3} + \frac{- 2 x^{2}}{1} + C$

Schritt 12.2.3.2.4

Dividiere $- 2 x^{2}$ durch $1$ .

$- \frac{\cos (u)}{3} - 2 x^{2} + C$

Schritt 13

Ersetze alle $u$ durch $6 x + 3$ .

$- \frac{\cos (6 x + 3)}{3} - 2 x^{2} + C$

Schritt 14

Stelle die Terme um.

$- \frac{1}{3} \cos (6 x + 3) - 2 x^{2} + C$

Schritt 15

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 2 \sin (6 x + 3) - 4 x$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{3} \cos (6 x + 3) - 2 x^{2} + C$