Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} {(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Schreibe ${(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}}$ als $e^{\ln ({(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}})}$ um.

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(1 + 5 e^{x})}^{\frac{1}{x}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{x}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to \infty} e^{\frac{1}{x} \ln (1 + 5 e^{x})}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \ln (1 + 5 e^{x})}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\ln (1 + 5 e^{x})$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 5 e^{x})}{x}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (1 + 5 e^{x})}{lim_{x \to \infty} x}}$

Schritt 3.1.2

Da der Logarithmus gegen unendlich geht, geht der Wert gegen $\infty$ .

$e^{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}}$

Schritt 3.1.3

Der Grenzwert im Unendlichen eines Polynoms, dessen Leitkoeffizient positiv ist, ist unendlich.

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 3.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 3.2

Da $\frac{\infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (1 + 5 e^{x})}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 e^{x})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 e^{x})]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 1 + 5 e^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + 5 e^{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + 5 e^{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} \frac{d}{d x} [1 + 5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + 5 e^{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 e^{x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [5 e^{x}])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} \frac{d}{d x} [5 e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.6

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 e^{x}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{1 + 5 e^{x}} \cdot 5 \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.7

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{1 + 5 e^{x}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{1 + 5 e^{x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.8

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5}{1 + 5 e^{x}} e^{x}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.9

Kombiniere $\frac{5}{1 + 5 e^{x}}$ und $e^{x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 e^{x}}{1 + 5 e^{x}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.10

Stelle die Terme um.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}}{1}}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1} \cdot 1}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{5 e^{x}}{5 e^{x} + 1}}$

Schritt 4

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + 1}}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{5 \frac{lim_{x \to \infty} e^{x}}{lim_{x \to \infty} 5 e^{x} + 1}}$

Schritt 5.1.2

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$e^{5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 e^{x} + 1}}$

Schritt 5.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$e^{5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5 e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 5.1.3.2

Da die Funktion $e^{x}$ gegen $\infty$ geht, geht die positive Konstante $5$ mal der Funktion ebenfalls gegen $\infty$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1.3.2.1

Betrachte den Grenzwert mit dem konstanten Vielfachen $5$ entfernt.

$e^{5 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} e^{x} + lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 5.1.3.2.2

Da der Exponent $x$ gegen $\infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{x}$ $\infty$ an.

$e^{5 \frac{\infty}{\infty + lim_{x \to \infty} 1}}$

Schritt 5.1.3.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$e^{5 \frac{\infty}{\infty + 1}}$

Schritt 5.1.3.4

Unendlich plus oder minus eine Zahl ist Unendlich.

$e^{5 \frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 5.1.3.5

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{5 \frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 5.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{5 \frac{\infty}{\infty}}$

Schritt 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + 1} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 e^{x} + 1]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [5 e^{x} + 1]}}$

Schritt 5.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 e^{x} + 1]}}$

Schritt 5.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 e^{x} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{\frac{d}{d x} [5 e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Schritt 5.3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [5 e^{x}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 e^{x}$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]}}$

Schritt 5.3.4.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + \frac{d}{d x} [1]}}$

Schritt 5.3.5

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x} + 0}}$

Schritt 5.3.6

Addiere $5 e^{x}$ und $0$ .

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x}}}$

Schritt 5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{e^{x}}{5 e^{x}}}$

Schritt 5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{5}}$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert von $\frac{1}{5}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$e^{5 (\frac{1}{5})}$

Schritt 6.2

Vereinfache die Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{5 (\frac{1}{5})}$

Schritt 6.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{1}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache.

$e$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e$

Dezimalform:

$2.71828182 \dots$