Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{x} - 8}{x}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 0} 8 e^{x} - 8}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.2.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 0} 8 e^{x} - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.1.2

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{8 lim_{x \to 0} e^{x} - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.1.3

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$\frac{8 e^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.1.4

Berechne den Grenzwert von $8$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$\frac{8 e^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{8 e^{0} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{8 \cdot 1 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{8 - 8}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.2.3.2

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{x} - 8}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 e^{x} - 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 e^{x} - 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $8 e^{x} - 8$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [8 e^{x}]$ .

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Schritt 1.3.3.1

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $8 e^{x}$ nach $x$ gleich $8 \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{x} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.4

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{x} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.5

Addiere $8 e^{x}$ und $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{x}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 1.3.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 e^{x}}{1}$

Schritt 1.4

Dividiere $8 e^{x}$ durch $1$ .

$lim_{x \to 0} 8 e^{x}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Ziehe den Term $8$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$8 lim_{x \to 0} e^{x}$

Schritt 2.2

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$8 e^{lim_{x \to 0} x}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$8 e^{0}$

Schritt 4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$8 \cdot 1$

Schritt 4.2

Mutltipliziere $8$ mit $1$ .

$8$