Analysis Beispiele

${(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$

Schritt 1

Schreibe ${(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$ als Funktion.

$f (x) = {(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int {(\frac{1}{2} x - 1)}^{7} d x$

Schritt 4

Sei $u = \frac{1}{2} x - 1$ . Dann ist $d u = \frac{1}{2} d x$ , folglich $2 d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Es sei $u = \frac{1}{2} x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Differenziere $\frac{1}{2} x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x - 1]$

Schritt 4.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.3.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 4.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} + 0$

Schritt 4.1.4.2

Addiere $\frac{1}{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int u^{7} \frac{1}{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$\int u^{7} (1 \cdot 2) d u$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\int u^{7} \cdot 2 d u$

Schritt 5.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u^{7}$ .

$\int 2 u^{7} d u$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int u^{7} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{7}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{8} u^{8}$ .

$2 (\frac{1}{8} u^{8} + C)$

Schritt 8

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Schreibe $2 (\frac{1}{8} u^{8} + C)$ als $2 (\frac{1}{8}) u^{8} + C$ um.

$2 (\frac{1}{8}) u^{8} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{2}{8} u^{8} + C$

Schritt 8.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $8$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (1)}{8} u^{8} + C$

Schritt 8.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} u^{8} + C$

Schritt 8.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 4} u^{8} + C$

Schritt 8.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{4} u^{8} + C$

Schritt 9

Ersetze alle $u$ durch $\frac{1}{2} x - 1$ .

$\frac{1}{4} {(\frac{1}{2} x - 1)}^{8} + C$

Schritt 10

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = {(\frac{1}{2} x - 1)}^{7}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} {(\frac{1}{2} x - 1)}^{8} + C$