Analysis Beispiele

$\int_{0}^{\infty} e^{- s t} d t$

Schritt 1

Schreibe das Integral als Grenzwert, wenn sich $t_{1}$ an $\infty$ annähert.

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{t_{1}} e^{- s t} d t$

Schritt 2

Sei $u = - s t$ . Dann ist $d u = - s d t$ , folglich $- \frac{1}{s} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = - s t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $- s t$ .

$\frac{d}{d t} [- s t]$

Schritt 2.1.2

Da $- s$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- s t$ nach $t$ gleich $- s \frac{d}{d t} [t]$ .

$- s \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- s \cdot 1$

Schritt 2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- s$

Schritt 2.2

Setze die untere Grenze für $t$ in $u = - s t$ ein.

$u_{lower} = - s \cdot 0$

Schritt 2.3

Multipliziere $- s \cdot 0$ .

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Schritt 2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$u_{lower} = 0 s$

Schritt 2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $s$ .

$u_{lower} = 0$

Schritt 2.4

Setze die obere Grenze für $t$ in $u = - s t$ ein.

$u_{upper} = - s t_{1}$

Schritt 2.5

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - s t_{1}$

Schritt 2.6

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t_{1}} - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - e^{u} \frac{- 1}{- s} d u$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - e^{u} \frac{1}{s} d u$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{1}{s}$ und $e^{u}$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t} - \frac{e^{u}}{s} d u$

$lim_{t_{1} \to \infty} \int_{0}^{- s t_{1}} - \frac{e^{u}}{s} d u$

Schritt 4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$lim_{t_{1} \to \infty} - \int_{0}^{- s t_{1}} \frac{e^{u}}{s} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{s}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{s}$ aus dem Integral.

$lim_{t_{1} \to \infty} - (\frac{1}{s} \int_{0}^{- s t_{1}} e^{u} d u)$

Schritt 6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{1}{s} e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}$

Schritt 7

Kombiniere $e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}$ und $\frac{1}{s}$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{u}]_{0}^{- s t_{1}}}{s}$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $e^{u}$ bei $- s t_{1}$ und $0$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{(e^{- s t_{1}}) - e^{0}}{s}$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{- s t_{1}} - 1 \cdot 1}{s}$

Schritt 8.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$lim_{t_{1} \to \infty} - \frac{e^{- s t_{1}} - 1}{s}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.1.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t_{1}$ ist.

$- lim_{t_{1} \to \infty} \frac{e^{- s t_{1}} - 1}{s}$

Schritt 9.1.2

Ziehe den Term $\frac{1}{s}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $t_{1}$ ist.

$- \frac{1}{s} lim_{t_{1} \to \infty} e^{- s t_{1}} - 1$

Schritt 9.1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $t_{1}$ sich an $\infty$ annähert.

$- \frac{1}{s} (lim_{t_{1} \to \infty} e^{- s t_{1}} - lim_{t_{1} \to \infty} 1)$

Schritt 9.2

Da der Exponent $- s t_{1}$ gegen $- \infty$ geht, nähert sich die Größe $e^{- s t_{1}}$ $0$ an.

$- \frac{1}{s} (0 - lim_{t_{1} \to \infty} 1)$

Schritt 9.3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.3.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $t_{1}$ sich $\infty$ annähert.

$- \frac{1}{s} (0 - 1 \cdot 1)$

Schritt 9.3.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.3.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{1}{s} (0 - 1)$

Schritt 9.3.2.2

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$- \frac{1}{s} \cdot - 1$

Schritt 9.3.2.3

Multipliziere $- \frac{1}{s} \cdot - 1$ .

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Schritt 9.3.2.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{1}{s}$

Schritt 9.3.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{s}$ mit $1$ .

$\frac{1}{s}$