Analysis Beispiele

$\int \frac{\sec (x) \tan (x)}{\sec (x) - 1} d x$

Schritt 1

Sei $u = \sec (x) - 1$ . Dann ist $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Es sei $u = \sec (x) - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.1

Differenziere $\sec (x) - 1$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x) - 1]$

Schritt 1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sec (x) - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.3

Die Ableitung von $\sec (x)$ nach $x$ ist $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\sec (x) \tan (x) + 0$

Schritt 1.1.4.2

Addiere $\sec (x) \tan (x)$ und $0$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Schritt 1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Schritt 3

Ersetze alle $u$ durch $\sec (x) - 1$ .

$\ln (| \sec (x) - 1 |) + C$