Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{6 x + 5 x^{2}}}{6 x - 1}$

Schritt 1

Faktorisiere $x$ aus $6 x + 5 x^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x$ aus $6 x$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 6 + 5 x^{2}}}{6 x - 1}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x$ aus $5 x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x \cdot 6 + x (5 x)}}{6 x - 1}$

Schritt 1.3

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 6 + x (5 x)$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (6 + 5 x)}}{6 x - 1}$

Schritt 2

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $\sqrt{x^{2}} = x$ ist.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (6 + 5 x)}{x^{2}}}}{\frac{6 x}{x} - \frac{1}{x}}$

Schritt 3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (6 + 5 x)}{x^{2}}}}{6 - \frac{1}{x}}$

Schritt 4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2}$ heraus.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (6 + 5 x)}{x \cdot x}}}{6 - \frac{1}{x}}$

Schritt 4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (6 + 5 x)}{x \cdot x}}}{6 - \frac{1}{x}}$

Schritt 4.3

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{6 + 5 x}{x}}}{6 - \frac{1}{x}}$

Schritt 5

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 5.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{6 + 5 x}{x}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

Schritt 5.2

Bringe den Grenzwert unter das Wurzelzeichen.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{6 + 5 x}{x}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

Schritt 6

Teile den Zähler und Nenner durch die höchste Potenz von $x$ im Nenner, was $x$ ist.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x} + \frac{5 x}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

Schritt 7

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x} + \frac{5 x}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

Schritt 7.1.2

Dividiere $5$ durch $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x} + 5}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

Schritt 7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x} + 5}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

Schritt 7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{6}{x} + 5}{1}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

Schritt 7.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} + 5}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

Schritt 7.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} \frac{6}{x} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

Schritt 7.5

Ziehe den Term $6$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{\sqrt{\frac{6 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

Schritt 8

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{6 \cdot 0 + lim_{x \to \infty} 5}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

Schritt 9

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 9.1

Berechne den Grenzwert von $5$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{\frac{6 \cdot 0 + 5}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

Schritt 9.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{\frac{6 \cdot 0 + 5}{1}}}{lim_{x \to \infty} 6 - \frac{1}{x}}$

Schritt 9.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{\frac{6 \cdot 0 + 5}{1}}}{lim_{x \to \infty} 6 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 9.4

Berechne den Grenzwert von $6$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{\sqrt{\frac{6 \cdot 0 + 5}{1}}}{6 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Schritt 10

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x}$ $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{6 \cdot 0 + 5}{1}}}{6 - 0}$

Schritt 11

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 11.1

Dividiere $6 \cdot 0 + 5$ durch $1$ .

$\frac{\sqrt{6 \cdot 0 + 5}}{6 - 0}$

Schritt 11.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 11.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $0$ .

$\frac{\sqrt{0 + 5}}{6 - 0}$

Schritt 11.2.2

Addiere $0$ und $5$ .

$\frac{\sqrt{5}}{6 - 0}$

Schritt 11.3

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 11.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$\frac{\sqrt{5}}{6 + 0}$

Schritt 11.3.2

Addiere $6$ und $0$ .

$\frac{\sqrt{5}}{6}$

Schritt 12

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{\sqrt{5}}{6}$

Dezimalform:

$0.37267799 \dots$