Analysis Beispiele

$f (x) = 2 x^{3}$ at $(2, 16)$

Schritt 1

Finde die erste Ableitung und werte sie bei $x = 2$ und $y = 16$ aus, um die Steigung der Tangentenlinie zu finden.

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Schritt 1.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{3}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$6 x^{2}$

Schritt 1.4

Bestimme die Ableitung bei $x = 2$ .

$6 {(2)}^{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Potenziere $2$ mit $2$ .

$6 \cdot 4$

Schritt 1.5.2

Mutltipliziere $6$ mit $4$ .

$24$

Schritt 2

Steigung und Punktwerte in die Punkt-Steigungs-Formel einfügen und für $y$ lösen.

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Schritt 2.1

Benutze die Steigung $24$ und einen gegebenen Punkt $(2, 16)$ , um $x_{1}$ und $y_{1}$ in der Punkt-Steigungs-Form $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ zu substituieren, welche von der Gleichung für die Steigung $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ abgeleitet ist.

$y - (16) = 24 \cdot (x - (2))$

Schritt 2.2

Vereinfache die Gleichung und behalte die Punkt-Richtungs-Form bei.

$y - 16 = 24 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Vereinfache $24 \cdot (x - 2)$ .

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Schritt 2.3.1.1

Forme um.

$y - 16 = 0 + 0 + 24 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 16 = 24 \cdot (x - 2)$

Schritt 2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 16 = 24 x + 24 \cdot - 2$

Schritt 2.3.1.4

Mutltipliziere $24$ mit $- 2$ .

$y - 16 = 24 x - 48$

Schritt 2.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 2.3.2.1

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 24 x - 48 + 16$

Schritt 2.3.2.2

Addiere $- 48$ und $16$ .

$y = 24 x - 32$

Schritt 3