Analysis Beispiele

$y = \frac{6 \sqrt[3]{x}}{5}$

Schritt 1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{6 x^{\frac{1}{3}}}{5}$

Schritt 2

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{6 x^{\frac{1}{3}}}{5})$

Schritt 3

Die Ableitung von $y$ nach $x$ ist $y'$ .

$y'$

Schritt 4

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Da $\frac{6}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{6 x^{\frac{1}{3}}}{5}$ nach $x$ gleich $\frac{6}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{6}{5} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{6}{5} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Schritt 4.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6}{5} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Schritt 4.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{6}{5} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 4.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{6}{5} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Schritt 4.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{6}{5} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Schritt 4.6.2

Subtrahiere $3$ von $1$ .

$\frac{6}{5} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Schritt 4.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{6}{5} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Schritt 4.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{6}{5} \cdot \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Schritt 4.9

Mutltipliziere $\frac{6}{5}$ mit $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$\frac{6 x^{- \frac{2}{3}}}{5 \cdot 3}$

Schritt 4.10

Multipliziere.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.10.1

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{6 x^{- \frac{2}{3}}}{15}$

Schritt 4.10.2

Bringe $x^{- \frac{2}{3}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{6}{15 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.11

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 (2)}{15 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 4.12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.12.1

Faktorisiere $3$ aus $15 x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$\frac{3 (2)}{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 4.12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 2}{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}$

Schritt 4.12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{5 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 5

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$y' = \frac{2}{5 x^{\frac{2}{3}}}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{5 x^{\frac{2}{3}}}$