Analysis Beispiele

$\int_{- 7}^{0} (\frac{y}{7} + \sqrt{y + 8}) d y$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{- 7}^{0} \frac{y}{7} + \sqrt{y + 8} d y$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{- 7}^{0} \frac{y}{7} d y + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

Schritt 3

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{7}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{7} \int_{- 7}^{0} y d y + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{- 7}^{0} \sqrt{y + 8} d y$

Schritt 5

Sei $u = y + 8$ . Dann ist $d u = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.1

Es sei $u = y + 8$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 5.1.1

Differenziere $y + 8$ .

$\frac{d}{d y} [y + 8]$

Schritt 5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 8$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [8]$

Schritt 5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [8]$

Schritt 5.1.4

Da $8$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $8$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5.2

Setze die untere Grenze für $y$ in $u = y + 8$ ein.

$u_{lower} = - 7 + 8$

Schritt 5.3

Addiere $- 7$ und $8$ .

$u_{lower} = 1$

Schritt 5.4

Setze die obere Grenze für $y$ in $u = y + 8$ ein.

$u_{upper} = 0 + 8$

Schritt 5.5

Addiere $0$ und $8$ .

$u_{upper} = 8$

Schritt 5.6

Die für $u_{lower}$ und $u_{upper}$ gefundenen Werte werden dazu verwendet, um das bestimmte Integral zu berechnen.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 8$

Schritt 5.7

Schreibe die Aufgabe mithilfe von $u$ , $d u$ und den neuen Grenzen der Integration neu.

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{1}^{8} \sqrt{u} d u$

Schritt 6

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \int_{1}^{8} u^{\frac{1}{2}} d u$

Schritt 7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{1}{7} \frac{1}{2} y^{2}]_{- 7}^{0} + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{8}$

Schritt 8

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 8.1

Berechne $\frac{1}{2} y^{2}$ bei $0$ und $- 7$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{1}^{8}$

Schritt 8.2

Berechne $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ bei $8$ und $1$ .

$\frac{1}{7} ((\frac{1}{2} \cdot 0^{2}) - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{7} (\frac{1}{2} \cdot 0 - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $0$ .

$\frac{1}{7} (0 - \frac{1}{2} {(- 7)}^{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.3

Potenziere $- 7$ mit $2$ .

$\frac{1}{7} (0 - \frac{1}{2} \cdot 49) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.4

Mutltipliziere $49$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{7} (0 - 49 (\frac{1}{2})) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.5

Kombiniere $- 49$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{7} (0 + \frac{- 49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{7} (0 - \frac{49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.7

Subtrahiere $\frac{49}{2}$ von $0$ .

$\frac{1}{7} (- \frac{49}{2}) + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.8

Mutltipliziere $\frac{1}{7}$ mit $\frac{49}{2}$ .

$- \frac{49}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.9

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$- \frac{49}{14} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.10

Kürze den gemeinsamen Teiler von $49$ und $14$ .

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Schritt 8.3.10.1

Faktorisiere $7$ aus $49$ heraus.

$- \frac{7 (7)}{14} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.10.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 8.3.10.2.1

Faktorisiere $7$ aus $14$ heraus.

$- \frac{7 \cdot 7}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.10.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{7 \cdot 7}{7 \cdot 2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.10.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{7}{2} + (\frac{2}{3} \cdot 8^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.11

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $8^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 8^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.12

Schreibe $8$ als $2^{3}$ um.

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot {(2^{3})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.13

Multipliziere die Exponenten in ${(2^{3})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Schritt 8.3.13.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{3 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.13.2

Multipliziere $3 (\frac{3}{2})$ .

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Schritt 8.3.13.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{3 \cdot 3}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.13.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2 \cdot 2^{\frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.14

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{1 + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.15

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{2}{2} + \frac{9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.16

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{2 + 9}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.17

Addiere $2$ und $9$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}}$

Schritt 8.3.18

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1$

Schritt 8.3.19

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}}}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 8.3.20

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{7}{2} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$

Schritt 8.3.21

Um $- \frac{7}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$

Schritt 8.3.22

Um $\frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 8.3.23

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 8.3.23.1

Mutltipliziere $\frac{7}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 8.3.23.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 8.3.23.3

Mutltipliziere $\frac{2^{\frac{11}{2}} - 2}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{(2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Schritt 8.3.23.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$- \frac{7 \cdot 3}{6} + \frac{(2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Schritt 8.3.24

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 7 \cdot 3 + (2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Schritt 8.3.25

Mutltipliziere $- 7$ mit $3$ .

$\frac{- 21 + (2^{\frac{11}{2}} - 2) \cdot 2}{6}$

Schritt 8.3.26

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2^{\frac{11}{2}} - 2$ .

$\frac{- 21 + 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

Schritt 9

Vereinfache.

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Schritt 9.1

Schreibe $- 21$ als $- 1 (21)$ um.

$\frac{- 1 (21) + 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

Schritt 9.2

Faktorisiere $- 1$ aus $2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)$ heraus.

$\frac{- 1 (21) - (- 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))}{6}$

Schritt 9.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (21) - (- 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))$ heraus.

$\frac{- 1 (21 - 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2))}{6}$

Schritt 9.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{21 - 2 (2^{\frac{11}{2}} - 2)}{6}$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- \frac{21 - 2 \cdot 2^{\frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Schritt 10.2

Multipliziere $- 2 \cdot 2^{\frac{11}{2}}$ .

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$- \frac{21 - (2 \cdot 2^{\frac{11}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

Schritt 10.2.2

Potenziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{21 - (2^{1} \cdot 2^{\frac{11}{2}}) - 2 \cdot - 2}{6}$

Schritt 10.2.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{21 - 2^{1 + \frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Schritt 10.2.4

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{21 - 2^{\frac{2}{2} + \frac{11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Schritt 10.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{21 - 2^{\frac{2 + 11}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Schritt 10.2.6

Addiere $2$ und $11$ .

$- \frac{21 - 2^{\frac{13}{2}} - 2 \cdot - 2}{6}$

Schritt 10.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$- \frac{21 - 2^{\frac{13}{2}} + 4}{6}$

Schritt 10.4

Addiere $21$ und $4$ .

$- \frac{25 - 2^{\frac{13}{2}}}{6}$

Schritt 11

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{25 - 2^{\frac{13}{2}}}{6}$

Dezimalform:

$10.91827799 \dots$

Schritt 12