Analysis Beispiele

$\sum_{k = 0}^{6} - k^{2} - 9$

Schritt 1

Zerlege die Addition, damit der Anfangswert von $k$ gleich $1$ ist.

$\sum_{k = 0}^{6} - k^{2} - 9 = \sum_{k = 1}^{6} - k^{2} - 9 + \sum_{k = 0}^{0} - k^{2} - 9$

Schritt 2

Berechne $\sum_{k = 1}^{6} - k^{2} - 9$ .

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Schritt 2.1

Teile die Addition in kleinere Additionen, die mit den Additionsregelen übereinstimmen.

$\sum_{k = 1}^{6} - k^{2} - 9 = - 1 \sum_{k = 1}^{6} k^{2} + \sum_{k = 1}^{6} - 9$

Schritt 2.2

Berechne $1 \sum_{k = 1}^{6} k^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Die Formel für die Summierung eines Polynoms vom Grad $2$ ist:

$\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Schritt 2.2.2

Setze die Werte in die Formel ein und stelle sicher, dass du mit dem führenden Term multiplizierst.

$(- 1) (\frac{6 (6 + 1) (2 \cdot 6 + 1)}{6})$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.3.1.1

Addiere $6$ und $1$ .

$- 1 \frac{6 \cdot 7 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Schritt 2.2.3.1.2

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 2.2.3.1.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $7$ .

$- 1 \frac{42 (2 \cdot 6 + 1)}{6}$

Schritt 2.2.3.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$- 1 \frac{42 (12 + 1)}{6}$

Schritt 2.2.3.1.3

Addiere $12$ und $1$ .

$- 1 \frac{42 \cdot 13}{6}$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.2.3.2.1

Mutltipliziere $42$ mit $13$ .

$- 1 (\frac{546}{6})$

Schritt 2.2.3.2.2

Dividiere $546$ durch $6$ .

$- 1 \cdot 91$

Schritt 2.2.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $91$ .

$- 91$

Schritt 2.3

Berechne $\sum_{k = 1}^{6} - 9$ .

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Schritt 2.3.1

Die Formel für die Summierung einer Konstanten ist:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Schritt 2.3.2

Setze die Werte in die Formel ein.

$(- 9) (6)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $6$ .

$- 54$

Schritt 2.4

Addiere die Ergebnisse der Aufsummierungen.

$- 91 - 54$

Schritt 2.5

Subtrahiere $54$ von $- 91$ .

$- 145$

Schritt 3

Berechne $\sum_{k = 0}^{0} - k^{2} - 9$ .

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Schritt 3.1

Entwickele die Reihe für jeden Wert von $k$ .

$- 0^{2} - 9$

Schritt 3.2

Vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Potenziere $0$ mit $2$ .

$- 0 - 9$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$0 - 9$

Schritt 3.2.3

Subtrahiere $9$ von $0$ .

$- 9$

Schritt 4

Ersetze die Aufsummierungen durch die gefundenen Werte.

$- 145 - 9$

Schritt 5

Subtrahiere $9$ von $- 145$ .

$- 154$