Analysis Beispiele

$\sqrt{\frac{4}{x}} - \sqrt{3 x}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\sqrt{\frac{4}{x}} - \sqrt{3 x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{4}{x}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{4}{x}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\sqrt{\frac{4}{x}}]$ .

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Schritt 2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{\frac{4}{x}}$ als ${(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [{(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ und $g (x) = \frac{4}{x}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{4}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{4}{x}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{4}{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Schritt 2.3

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{x}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Schritt 2.4

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} (4 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2} - 1} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Schritt 2.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Schritt 2.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Schritt 2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Schritt 2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{1 - 2}{2}} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Schritt 2.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{\frac{- 1}{2}} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Schritt 2.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} (4 (- x^{- 2})) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Schritt 2.11

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} (- 4 x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Schritt 2.12

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Schritt 2.13

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{- 4}{2}$ .

$\frac{x^{- 2} \cdot - 4}{2} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Schritt 2.14

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x^{- 2}$ .

$\frac{- 4 \cdot x^{- 2}}{2} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Schritt 2.15

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 4}{2 x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Schritt 2.16

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 2.16.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Schritt 2.16.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.16.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 (x^{2})} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Schritt 2.16.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Schritt 2.16.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Schritt 2.17

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x}]$ .

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Schritt 3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 x}$ als ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- {(3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.2

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- {(3 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.3

Wende die Produktregel auf $3 (x)$ an.

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})]$

Schritt 3.4

Da $- 3^{\frac{1}{2}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $- 3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{2}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Schritt 3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Schritt 3.9.2

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Schritt 3.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Schritt 3.11

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - 3^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.12

Kombiniere $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ und $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}}}{2}$

Schritt 3.13

Bringe $x^{- \frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{4}{x})}^{- \frac{1}{2}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Ändere das Vorzeichen des Exponenten durch Umschreiben der Basis als ihren Kehrwert.

$- \frac{2}{x^{2}} {(\frac{x}{4})}^{\frac{1}{2}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.2

Wende die Produktregel auf $\frac{x}{4}$ an.

$- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4^{\frac{1}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3

Vereine die Terme

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Schritt 4.3.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2^{2 (\frac{1}{2})}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2^{1}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.4

Berechne den Exponenten.

$- \frac{2}{x^{2}} \cdot \frac{x^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.5

Mutltipliziere $\frac{x^{\frac{1}{2}}}{2}$ mit $\frac{2}{x^{2}}$ .

$- \frac{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 x^{2}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2 \cdot x^{\frac{1}{2}}}{2 x^{2}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.7

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{2}{2 x^{2} x^{- \frac{1}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.8

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.3.8.1

Bewege $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$- \frac{2}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{2})} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- \frac{2}{2 x^{- \frac{1}{2} + 2}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.8.3

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{2 x^{- \frac{1}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.8.4

Kombiniere $2$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.8.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{2}{2 x^{\frac{- 1 + 2 \cdot 2}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.8.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.8.6.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- \frac{2}{2 x^{\frac{- 1 + 4}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.8.6.2

Addiere $- 1$ und $4$ .

$- \frac{2}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{2}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4.3.10

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{x^{\frac{3}{2}}} - \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$