Analysis Beispiele

$f (x) = \frac{4}{3} - \frac{1}{2} x^{- 1} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{3}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{4}{3} - \frac{1}{2} x^{- 1} + \frac{1}{4} x^{4} + \frac{1}{2} x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{4}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.1.2

Da $\frac{4}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{- 1}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2} x^{- 1}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$ .

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$0 - \frac{1}{2} (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 + 1 (\frac{1}{2}) x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$0 + \frac{1}{2} x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.2.5

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{- 2}$ .

$0 + \frac{x^{- 2}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.2.6

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4} x^{4}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $\frac{1}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{4} x^{4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{1}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.3.3

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{4}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $\frac{4}{4}$ und $x^{3}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{4 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.3.5.2

Dividiere $x^{3}$ durch $1$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + x^{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{3}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + x^{3} + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + x^{3} + \frac{1}{2} (3 x^{2})$

Schritt 1.4.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + x^{3} + \frac{3}{2} x^{2}$

Schritt 1.4.4

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{2}$ .

$0 + \frac{1}{2 x^{2}} + x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Addiere $0$ und $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{2 x^{2}} + x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2}$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$f' (x) = x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{2 x^{2}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Differenziere.

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Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} + \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{2 x^{2}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Schritt 2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{3 x^{2}}{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{3 x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} + \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $2$ und $\frac{3}{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$3 x^{2} + \frac{6}{2} x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $\frac{6}{2}$ und $x$ .

$3 x^{2} + \frac{6 x}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Schritt 2.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 2.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $6 x$ heraus.

$3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Schritt 2.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Schritt 2.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{2} + \frac{2 (3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Schritt 2.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{2} + \frac{3 x}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Schritt 2.2.6.2.4

Dividiere $3 x$ durch $1$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2 x^{2}}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2 x^{2}}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Schritt 2.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x))$

Schritt 2.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- x^{2 \cdot - 2} (2 x))$

Schritt 2.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- x^{- 4} (2 x))$

Schritt 2.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- 2 x^{- 4} x)$

Schritt 2.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- 2 (x^{1} x^{- 4}))$

Schritt 2.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- 2 x^{1 - 4})$

Schritt 2.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{1}{2} (- 2 x^{- 3})$

Schritt 2.3.10

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{- 2}{2} x^{- 3}$

Schritt 2.3.11

Kombiniere $\frac{- 2}{2}$ und $x^{- 3}$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{- 2 x^{- 3}}{2}$

Schritt 2.3.12

Bringe $x^{- 3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 x^{2} + 3 x + \frac{- 2}{2 x^{3}}$

Schritt 2.3.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.3.13.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$3 x^{2} + 3 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{3}}$

Schritt 2.3.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.13.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x^{3}$ heraus.

$3 x^{2} + 3 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 (x^{3})}$

Schritt 2.3.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$3 x^{2} + 3 x + \frac{2 \cdot - 1}{2 x^{3}}$

Schritt 2.3.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$3 x^{2} + 3 x + \frac{- 1}{x^{3}}$

Schritt 2.3.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f'' (x) = 3 x^{2} + 3 x - \frac{1}{x^{3}}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{2} + 3 x - \frac{1}{x^{3}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$6 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$6 x + 3 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$

Schritt 3.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{3}}]$ .

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Schritt 3.4.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x^{3}}$ .

$6 x + 3 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.4.2

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$6 x + 3 - \frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 3.4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$6 x + 3 - (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$6 x + 3 - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.4.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$6 x + 3 - (- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$6 x + 3 - (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 3.4.5

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$6 x + 3 - (- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Schritt 3.4.6

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 3.4.6.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$6 x + 3 - (- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Schritt 3.4.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$6 x + 3 - (- x^{- 6} (3 x^{2})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Schritt 3.4.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$6 x + 3 - (- 3 x^{- 6} x^{2}) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Schritt 3.4.8

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.8.1

Bewege $x^{2}$ .

$6 x + 3 - (- 3 (x^{2} x^{- 6})) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Schritt 3.4.8.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$6 x + 3 - (- 3 x^{2 - 6}) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Schritt 3.4.8.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$6 x + 3 - (- 3 x^{- 4}) + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Schritt 3.4.9

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 1$ .

$6 x + 3 + 3 x^{- 4} + \frac{1}{x^{3}} \cdot 0$

Schritt 3.4.10

Mutltipliziere $\frac{1}{x^{3}}$ mit $0$ .

$6 x + 3 + 3 x^{- 4} + 0$

Schritt 3.4.11

Addiere $3 x^{- 4}$ und $0$ .

$6 x + 3 + 3 x^{- 4}$

Schritt 3.5

Vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 x + 3 + 3 \frac{1}{x^{4}}$

Schritt 3.5.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$6 x + 3 + \frac{3}{x^{4}}$

Schritt 3.5.3

Stelle die Terme um.

$f''' (x) = 6 x + \frac{3}{x^{4}} + 3$

Schritt 4

Die dritte Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $6 x + \frac{3}{x^{4}} + 3$ .

$6 x + \frac{3}{x^{4}} + 3$