Analysis Beispiele

$\int_{1}^{4} (x^{2} + x) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{1}^{4} x^{2} + x d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{1}^{4} x^{2} d x + \int_{1}^{4} x d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \int_{1}^{4} x d x$

Schritt 4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4} + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{4}$ und $\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{4}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $\frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} x^{2}$ bei $4$ und $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 4^{3} + \frac{1}{2} \cdot 4^{2}) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Potenziere $4$ mit $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 64 + \frac{1}{2} \cdot 4^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Schritt 5.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $64$ .

$\frac{64}{3} + \frac{1}{2} \cdot 4^{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Schritt 5.2.2.3

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\frac{64}{3} + \frac{1}{2} \cdot 16 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Schritt 5.2.2.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $16$ .

$\frac{64}{3} + \frac{16}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Schritt 5.2.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 5.2.2.5.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$\frac{64}{3} + \frac{2 \cdot 8}{2} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Schritt 5.2.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{64}{3} + \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Schritt 5.2.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{64}{3} + \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Schritt 5.2.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{64}{3} + \frac{8}{1} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Schritt 5.2.2.5.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$\frac{64}{3} + 8 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Schritt 5.2.2.6

Um $8$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + 8 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Schritt 5.2.2.7

Kombiniere $8$ und $\frac{3}{3}$ .

$\frac{64}{3} + \frac{8 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Schritt 5.2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{64 + 8 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Schritt 5.2.2.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.2.9.1

Mutltipliziere $8$ mit $3$ .

$\frac{64 + 24}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Schritt 5.2.2.9.2

Addiere $64$ und $24$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Schritt 5.2.2.10

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Schritt 5.2.2.11

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $1$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1^{2})$

Schritt 5.2.2.12

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2} \cdot 1)$

Schritt 5.2.2.13

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{1}{2})$

Schritt 5.2.2.14

Um $\frac{1}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Schritt 5.2.2.15

Um $\frac{1}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 5.2.2.16

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.2.16.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 5.2.2.16.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Schritt 5.2.2.16.3

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3})$

Schritt 5.2.2.16.4

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{88}{3} - (\frac{2}{6} + \frac{3}{6})$

Schritt 5.2.2.17

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{88}{3} - \frac{2 + 3}{6}$

Schritt 5.2.2.18

Addiere $2$ und $3$ .

$\frac{88}{3} - \frac{5}{6}$

Schritt 5.2.2.19

Um $\frac{88}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{88}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{5}{6}$

Schritt 5.2.2.20

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.2.2.20.1

Mutltipliziere $\frac{88}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{88 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{5}{6}$

Schritt 5.2.2.20.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{88 \cdot 2}{6} - \frac{5}{6}$

Schritt 5.2.2.21

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{88 \cdot 2 - 5}{6}$

Schritt 5.2.2.22

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.2.22.1

Mutltipliziere $88$ mit $2$ .

$\frac{176 - 5}{6}$

Schritt 5.2.2.22.2

Subtrahiere $5$ von $176$ .

$\frac{171}{6}$

Schritt 5.2.2.23

Kürze den gemeinsamen Teiler von $171$ und $6$ .

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Schritt 5.2.2.23.1

Faktorisiere $3$ aus $171$ heraus.

$\frac{3 (57)}{6}$

Schritt 5.2.2.23.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.2.23.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{3 \cdot 57}{3 \cdot 2}$

Schritt 5.2.2.23.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 57}{3 \cdot 2}$

Schritt 5.2.2.23.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{57}{2}$

Schritt 6

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{57}{2}$

Dezimalform:

$28.5$

Darstellung als gemischte Zahl:

$28 \frac{1}{2}$

Schritt 7