Analysis Beispiele

$\frac{3 - 5 x}{2 x^{2} - 3}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 3 - 5 x$ und $g (x) = 2 x^{2} - 3$ .

$\frac{(2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [3 - 5 x] - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 2

Differenziere.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 - 5 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 3) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 2.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{(2 x^{2} - 3) (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]) - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 3) \frac{d}{d x} [- 5 x] - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 2.4

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ nach $x$ gleich $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(2 x^{2} - 3) (- 5 \frac{d}{d x} [x]) - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 3) (- 5 \cdot 1) - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Mutltipliziere $- 5$ mit $1$ .

$\frac{(2 x^{2} - 3) \cdot - 5 - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 2.6.2

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $2 x^{2} - 3$ .

$\frac{- 5 \cdot (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) \frac{d}{d x} [2 x^{2} - 3]}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 2.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x^{2} - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) (\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 2.8

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2}$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) (2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 2.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) (2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) (4 x + \frac{d}{d x} [- 3])}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 2.11

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) (4 x + 0)}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 2.12

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.12.1

Addiere $4 x$ und $0$ .

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - (3 - 5 x) (4 x)}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 2.12.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{- 5 (2 x^{2} - 3) - 4 (3 - 5 x) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 3 - 4 (3 - 5 x) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 3 + (- 4 \cdot 3 - 4 (- 5 x)) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{- 5 (2 x^{2}) - 5 \cdot - 3 - 4 \cdot 3 x - 4 (- 5 x) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$\frac{- 10 x^{2} - 5 \cdot - 3 - 4 \cdot 3 x - 4 (- 5 x) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.2

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 3$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 15 - 4 \cdot 3 x - 4 (- 5 x) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 15 - 12 x - 4 (- 5 x) x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.4

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.1.4.1

Bewege $x$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 15 - 12 x - 4 (- 5 (x \cdot x))}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 15 - 12 x - 4 (- 5 x^{2})}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.1.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 4$ .

$\frac{- 10 x^{2} + 15 - 12 x + 20 x^{2}}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 3.4.2

Addiere $- 10 x^{2}$ und $20 x^{2}$ .

$\frac{10 x^{2} + 15 - 12 x}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$

Schritt 3.5

Stelle die Terme um.

$\frac{10 x^{2} - 12 x + 15}{{(2 x^{2} - 3)}^{2}}$