Analysis Beispiele

$\int \frac{1}{x \sqrt{4 x^{2} + 1}} d x$

Schritt 1

Sei $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ , mit $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Dann ist $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . Beachte, dass wegen $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ positiv ist.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.1

Vereinfache $\sqrt{4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2} + 1}$ .

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Schritt 2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{\tan (t)}{2}$ an.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.3

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.1.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{4 \frac{\tan^{2} (t)}{4} + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{\tan^{2} (t) + 1}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.2

Wende den trigonometrischen Pythagoras an.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sqrt{\sec^{2} (t)}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$\int \frac{1}{\frac{1}{2} \tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\tan (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t)}{2} \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.2

Kombiniere $\frac{\tan (t)}{2}$ und $\sec (t)$ .

$\int \frac{1}{\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\tan (t) \sec (t)}{2}$ zu dividieren.

$\int 1 \frac{2}{\tan (t) \sec (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $\frac{2}{\tan (t) \sec (t)}$ mit $1$ .

$\int \frac{2}{\tan (t) \sec (t)} \cdot \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $\frac{2}{\tan (t) \sec (t)}$ mit $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{\tan (t) \sec (t) \cdot 2} d t$

Schritt 2.2.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\tan (t) \sec (t)$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \cdot (\tan (t) \sec (t))} d t$

Schritt 2.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{2 \sec^{2} (t)}{2 \tan (t) \sec (t)} d t$

Schritt 2.2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{\sec^{2} (t)}{\tan (t) \sec (t)} d t$

Schritt 2.2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $\sec^{2} (t)$ und $\sec (t)$ .

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Schritt 2.2.8.1

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $\sec^{2} (t)$ heraus.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\tan (t) \sec (t)} d t$

Schritt 2.2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.8.2.1

Faktorisiere $\sec (t)$ aus $\tan (t) \sec (t)$ heraus.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \tan (t)} d t$

Schritt 2.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{\sec (t) \sec (t)}{\sec (t) \tan (t)} d t$

Schritt 2.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{\sec (t)}{\tan (t)} d t$

Schritt 2.2.9

Schreibe $\tan (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{\sec (t)}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Schritt 2.2.10

Schreibe $\sec (t)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{\frac{1}{\cos (t)}}{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}} d t$

Schritt 2.2.11

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (t)}{\cos (t)}$ zu dividieren.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Schritt 2.2.12

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (t)$ .

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Schritt 2.2.12.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\int \frac{1}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (t)} d t$

Schritt 2.2.12.2

Forme den Ausdruck um.

$\int \frac{1}{\sin (t)} d t$

Schritt 2.2.13

Wandle von $\frac{1}{\sin (t)}$ nach $\csc (t)$ um.

$\int \csc (t) d t$

Schritt 3

Das Integral von $\csc (t)$ nach $t$ ist $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Schritt 4

Ersetze alle $t$ durch $\arctan (2 x)$ .

$\ln (| \csc (\arctan (2 x)) - \cot (\arctan (2 x)) |) + C$