Analysis Beispiele

$lim_{r \to 0^{+}} - 11 (\frac{r}{3}) \ln (\frac{r}{5})$

Schritt 1

Ziehe den Term $- 11$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $r$ ist.

$- 11 lim_{r \to 0^{+}} \frac{r}{3} \ln (\frac{r}{5})$

Schritt 2

Kombiniere $\frac{r}{3}$ und $\ln (\frac{r}{5})$ .

$- 11 lim_{r \to 0^{+}} \frac{r \ln (\frac{r}{5})}{3}$

Schritt 3

Ziehe den Term $\frac{1}{3}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $r$ ist.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} r \ln (\frac{r}{5})$

Schritt 4

Schreibe $r \ln (\frac{r}{5})$ als $\frac{\ln (\frac{r}{5})}{\frac{1}{r}}$ um.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{r}{5})}{\frac{1}{r}}$

Schritt 5

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 5.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{r \to 0^{+}} \ln (\frac{r}{5})}{lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r}}$

Schritt 5.1.2

Wenn $r$ von rechts gegen $0$ geht, nimmt $\ln (\frac{r}{5})$ ohne Schranke ab.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r}}$

Schritt 5.1.3

Da der Zähler eine Konstante ist und der Nenner sich $0$ nähert, wenn $r$ von rechts gegen $0$ geht, geht der Bruch $\frac{1}{r}$ gegen unendlich.

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 5.1.4

Unendlich durch Unendlich geteilt ist nicht definiert.

Undefiniert

$- 11 (\frac{1}{3}) \frac{- \infty}{\infty}$

Schritt 5.2

Da $\frac{- \infty}{\infty}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{r \to 0^{+}} \frac{\ln (\frac{r}{5})}{\frac{1}{r}} = lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d r} [\ln (\frac{r}{5})]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Schritt 5.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 5.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d r} [\ln (\frac{r}{5})]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Schritt 5.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [f (g (r))]$ ist $f' (g (r)) g' (r)$ , mit $f (r) = \ln (r)$ und $g (r) = \frac{r}{5}$ .

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Schritt 5.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $\frac{r}{5}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Schritt 5.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Schritt 5.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $\frac{r}{5}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{r}{5}} \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Schritt 5.3.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{r}{5}$ zu dividieren.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{1 \frac{5}{r} \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $\frac{5}{r}$ mit $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{5}{r} \frac{d}{d r} [\frac{r}{5}]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Schritt 5.3.5

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $\frac{r}{5}$ nach $r$ gleich $\frac{1}{5} \frac{d}{d r} [r]$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{5}{r} \cdot \frac{1}{5} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{5}{r}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{5}{5 r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Schritt 5.3.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{5}{5 r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Schritt 5.3.7.2

Forme den Ausdruck um.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r} \frac{d}{d r} [r]}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Schritt 5.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r} \cdot 1}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Schritt 5.3.9

Mutltipliziere $\frac{1}{r}$ mit $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{\frac{d}{d r} [\frac{1}{r}]}$

Schritt 5.3.10

Schreibe $\frac{1}{r}$ als $r^{- 1}$ um.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{\frac{d}{d r} [r^{- 1}]}$

Schritt 5.3.11

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{- r^{- 2}}$

Schritt 5.3.12

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{r}}{- \frac{1}{r^{2}}}$

Schritt 5.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} \frac{1}{r} \cdot - 1 r^{2}$

Schritt 5.5

Kombiniere $\frac{1}{r}$ und $r^{2}$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r^{2}}{r}$

Schritt 5.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $r^{2}$ und $r$ .

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Schritt 5.6.1

Faktorisiere $r$ aus $r^{2}$ heraus.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r}$

Schritt 5.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.6.2.1

Potenziere $r$ mit $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r^{1}}$

Schritt 5.6.2.2

Faktorisiere $r$ aus $r^{1}$ heraus.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r \cdot 1}$

Schritt 5.6.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r \cdot r}{r \cdot 1}$

Schritt 5.6.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - \frac{r}{1}$

Schritt 5.6.2.5

Dividiere $r$ durch $1$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) lim_{r \to 0^{+}} - r$

Schritt 6

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 6.1.1

Ziehe den Term $- 1$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $r$ ist.

$- 11 (\frac{1}{3}) \cdot - 1 lim_{r \to 0^{+}} r$

Schritt 6.1.2

Berechne den Grenzwert von $r$ durch Einsetzen von $0$ für $r$ .

$- 11 (\frac{1}{3}) \cdot 0$

Schritt 6.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.2.1

Kombiniere $- 11$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 11}{3} \cdot 0$

Schritt 6.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{11}{3} \cdot 0$

Schritt 6.2.3

Multipliziere $- \frac{11}{3} \cdot 0$ .

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Schritt 6.2.3.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$0 (\frac{11}{3})$

Schritt 6.2.3.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{11}{3}$ .

$0$