Analysis Beispiele

$y = x + \frac{1}{x}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (x + \frac{1}{x})$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + \frac{1}{x}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x' + \frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 3.3.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ gleich $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ist mit $f (y) = 1$ und $g (y) = x$ .

$x' + \frac{x \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$x' + \frac{x \cdot 0 - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [x]}{x^{2}}$

Schritt 3.3.3

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x' + \frac{x \cdot 0 - 1 \cdot 1 x'}{x^{2}}$

Schritt 3.3.4

Mutltipliziere $x$ mit $0$ .

$x' + \frac{0 - 1 \cdot 1 x'}{x^{2}}$

Schritt 3.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$x' + \frac{0 - x'}{x^{2}}$

Schritt 3.3.6

Subtrahiere $x'$ von $0$ .

$x' + \frac{- x'}{x^{2}}$

Schritt 3.3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' - \frac{x'}{x^{2}}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$- \frac{x'}{x^{2}} + x'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$1 = - \frac{x'}{x^{2}} + x'$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$ um.

$- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$

Schritt 5.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$x^{2}, 1, 1$

Schritt 5.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$x^{2}$

Schritt 5.3

Multipliziere jeden Term in $- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$ mit $x^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{x'}{x^{2}} + x' = 1$ mit $x^{2}$ .

$- \frac{x'}{x^{2}} x^{2} + x' x^{2} = 1 x^{2}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x'}{x^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- x'}{x^{2}} x^{2} + x' x^{2} = 1 x^{2}$

Schritt 5.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- x'}{x^{2}} x^{2} + x' x^{2} = 1 x^{2}$

Schritt 5.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- x' + x' x^{2} = 1 x^{2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$- x' + x' x^{2} = x^{2}$

Schritt 5.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 5.4.1

Faktorisiere $x'$ aus $- x' + x' x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.4.1.1

Faktorisiere $x'$ aus $- x'$ heraus.

$x' \cdot - 1 + x' x^{2} = x^{2}$

Schritt 5.4.1.2

Faktorisiere $x'$ aus $x' x^{2}$ heraus.

$x' \cdot - 1 + x' (x^{2}) = x^{2}$

Schritt 5.4.1.3

Faktorisiere $x'$ aus $x' \cdot - 1 + x' (x^{2})$ heraus.

$x' (- 1 + x^{2}) = x^{2}$

Schritt 5.4.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$x' (- 1^{2} + x^{2}) = x^{2}$

Schritt 5.4.3

Stelle $- 1^{2}$ und $x^{2}$ um.

$x' (x^{2} - 1^{2}) = x^{2}$

Schritt 5.4.4

Faktorisiere.

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Schritt 5.4.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$x' ((x + 1) (x - 1)) = x^{2}$

Schritt 5.4.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$x' (x + 1) (x - 1) = x^{2}$

Schritt 5.4.5

Teile jeden Ausdruck in $x' (x + 1) (x - 1) = x^{2}$ durch $(x + 1) (x - 1)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.5.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (x + 1) (x - 1) = x^{2}$ durch $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{x' (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 1$ .

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Schritt 5.4.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.4.5.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x' (x - 1)}{x - 1} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.4.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

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Schritt 5.4.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (x - 1)}{x - 1} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 5.4.5.2.2.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}$