Analysis Beispiele

$t (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45$ , $x - 5$

Schritt 1

Betrachte die Funktion, die verwendet wird, um die Linearisierung bei $a$ zu bestimmen.

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Schritt 2

Setze den Wert von $a = x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45$ in die Linearisierungsfunktion ein.

$L (x) = f (x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45) + f' (x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45) (x - x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45)$

Schritt 3

Berechne $f (x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45)$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45$ .

$f (x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45) = (x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45) - 5$

Schritt 3.2

Vereinfache $(x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45) - 5$ .

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Schritt 3.2.1

Entferne die Klammern.

$(x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45) - 5$

Schritt 3.2.2

Subtrahiere $5$ von $45$ .

$x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 40$

Schritt 4

Ermittele die Ableitung von $f (x) = x - 5$ .

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Schritt 4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 5]$

Schritt 4.3

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.4

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 5

Setze die Komponenten in die Linearisierungsfunktion ein, um die Linearisierung bei $a$ zu ermitteln.

$L (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 40 + 1 (x - x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Mutltipliziere $x - x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45$ mit $1$ .

$L (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 40 + x - x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 45$

Schritt 6.1.2

Subtrahiere $9 x$ von $x$ .

$L (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 40 - x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 45$

Schritt 6.2

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 6.2.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x^{3} - 5 x^{2} - 9 x + 40 - x^{3} - 5 x^{2} - 8 x + 45$ .

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Schritt 6.2.1.1

Subtrahiere $x^{3}$ von $x^{3}$ .

$L (x) = - 5 x^{2} - 9 x + 40 + 0 - 5 x^{2} - 8 x + 45$

Schritt 6.2.1.2

Addiere $- 5 x^{2} - 9 x + 40$ und $0$ .

$L (x) = - 5 x^{2} - 9 x + 40 - 5 x^{2} - 8 x + 45$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $5 x^{2}$ von $- 5 x^{2}$ .

$L (x) = - 10 x^{2} - 9 x + 40 - 8 x + 45$

Schritt 6.2.3

Subtrahiere $8 x$ von $- 9 x$ .

$L (x) = - 10 x^{2} - 17 x + 40 + 45$

Schritt 6.2.4

Addiere $40$ und $45$ .

$L (x) = - 10 x^{2} - 17 x + 85$

Schritt 7