Analysis Beispiele

$y = \frac{4}{\sqrt{- x^{2} + 2 x - 5}}$

Schritt 1

Differenziere unter Anwendung der Faktorregel.

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Schritt 1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{- x^{2} + 2 x - 5}$ als ${(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{4}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ nach $x$ gleich $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}]$

Schritt 1.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 1.3.1

Schreibe $\frac{1}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}}}$ als ${({(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ um.

$4 \frac{d}{d x} [{({(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 1.3.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 1.3.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 1.3.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Schritt 1.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 \frac{d}{d x} [{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{1}{2}}]$

Schritt 2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ und $g (x) = - x^{2} + 2 x - 5$ .

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Schritt 2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- x^{2} + 2 x - 5$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Schritt 2.3

Ersetze alle $u$ durch $- x^{2} + 2 x - 5$ .

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Schritt 3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Schritt 4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Schritt 5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Schritt 6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Schritt 6.2

Subtrahiere $2$ von $- 1$ .

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Schritt 7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$4 (- \frac{1}{2} {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Schritt 8

Kombiniere ${(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Schritt 9

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.1

Bringe ${(- x^{2} + 2 x - 5)}^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Schritt 9.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$- 4 (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5])$

Schritt 10

Kombiniere $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$ und $- 4$ .

$\frac{- 4}{2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5]$

Schritt 11

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5]$

Schritt 12

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.1

Faktorisiere $2$ aus $2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 ({(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5]$

Schritt 12.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 2}{2 {(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5]$

Schritt 12.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5]$

Schritt 13

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2} + 2 x - 5]$

Schritt 14

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- x^{2} + 2 x - 5$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 15

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 16

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 17

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 18

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 19

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 20

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + 2 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Schritt 21

Da $- 5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 5$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + 2 + 0)$

Schritt 22

Addiere $- 2 x + 2$ und $0$ .

$- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + 2)$

Schritt 23

Vereinfache.

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Schritt 23.1

Stelle die Faktoren von $- \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}} (- 2 x + 2)$ um.

$- (- 2 x + 2) \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 23.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(- (- 2 x) - 1 \cdot 2) \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 23.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$(2 x - 1 \cdot 2) \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 23.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$(2 x - 2) \frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 23.5

Mutltipliziere $2 x - 2$ mit $\frac{2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$\frac{(2 x - 2) \cdot 2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 23.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 23.6.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x - 2$ heraus.

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Schritt 23.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{(2 (x) - 2) \cdot 2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 23.6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{(2 (x) + 2 (- 1)) \cdot 2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 23.6.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (x) + 2 (- 1)$ heraus.

$\frac{2 (x - 1) \cdot 2}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$

Schritt 23.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$\frac{4 (x - 1)}{{(- x^{2} + 2 x - 5)}^{\frac{3}{2}}}$