Analysis Beispiele

$\int (\frac{7 x^{6}}{x^{7} + 2}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int \frac{7 x^{6}}{x^{7} + 2} d x$

Schritt 2

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$7 \int \frac{x^{6}}{x^{7} + 2} d x$

Schritt 3

Sei $u = x^{7} + 2$ . Dann ist $d u = 7 x^{6} d x$ , folglich $\frac{1}{7} d u = x^{6} d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.1

Es sei $u = x^{7} + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 3.1.1

Differenziere $x^{7} + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7} + 2]$

Schritt 3.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{7} + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{7}] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 7$ .

$7 x^{6} + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 3.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$7 x^{6} + 0$

Schritt 3.1.5

Addiere $7 x^{6}$ und $0$ .

$7 x^{6}$

Schritt 3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$7 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{7} d u$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{7}$ .

$7 \int \frac{1}{u \cdot 7} d u$

Schritt 4.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $u$ .

$7 \int \frac{1}{7 u} d u$

Schritt 5

Da $\frac{1}{7}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{7}$ aus dem Integral.

$7 (\frac{1}{7} \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 6

Vereinfache.

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Schritt 6.1

Kombiniere $\frac{1}{7}$ und $7$ .

$\frac{7}{7} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7$ .

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Schritt 6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{7}{7} \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $\int \frac{1}{u} d u$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u$

Schritt 7

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $x^{7} + 2$ .

$\ln (| x^{7} + 2 |) + C$