Analysis Beispiele

$\frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x} + x^{2})$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{x^{3}} - \frac{1}{x} + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{3}}]$ .

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Schritt 2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{3}}$ als ${(x^{3})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{3})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{3}$ .

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Schritt 2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{3}$ .

$- {(x^{3})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- {(x^{3})}^{- 2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{3 \cdot - 2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$- x^{- 6} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 3 x^{- 6} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.6

Multipliziere $x^{- 6}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.6.1

Bewege $x^{2}$ .

$- 3 (x^{2} x^{- 6}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.6.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 3 x^{2 - 6} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.6.3

Subtrahiere $6$ von $2$ .

$- 3 x^{- 4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$- 3 x^{- 4} - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$- 3 x^{- 4} - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 3 x^{- 4} - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 3 x^{- 4} - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$- 3 x^{- 4} + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$- 3 x^{- 4} + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $0$ .

$- 3 x^{- 4} + x^{- 2} + 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.8

Addiere $x^{- 2}$ und $0$ .

$- 3 x^{- 4} + x^{- 2} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 3 x^{- 4} + x^{- 2} + 2 x$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}} + x^{- 2} + 2 x$

Schritt 5.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2 x$

Schritt 5.3

Vereine die Terme

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Schritt 5.3.1

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x^{4}}$ .

$\frac{- 3}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2 x$

Schritt 5.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{x^{4}} + \frac{1}{x^{2}} + 2 x$

Schritt 5.4

Stelle die Terme um.

$2 x + \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}}$