Analysis Beispiele

$lim_{x \to 3} \frac{{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}}{x - 3}$

Schritt 1

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 1.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$\frac{lim_{x \to 3} {(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 1.1.2.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{lim_{x \to 3} {(x - 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.1.2.2

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(x - 2)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.1.2.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.1.2.4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - lim_{x \to 3} {(x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.1.2.5

Ziehe den Exponenten $2$ von ${(x - 4)}^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.1.2.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.1.2.7

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{{(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.1.2.8

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $3$ für alle $x$ .

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Schritt 1.1.2.8.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{{(3 - 1 \cdot 2)}^{2} - {(lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.1.2.8.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{{(3 - 1 \cdot 2)}^{2} - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.1.2.9

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.2.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.9.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{{(3 - 2)}^{2} - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.1.2.9.1.2

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$\frac{1^{2} - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.1.2.9.1.3

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 - {(3 - 1 \cdot 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.1.2.9.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$\frac{1 - {(3 - 4)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.1.2.9.1.5

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$\frac{1 - {(- 1)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.1.2.9.1.6

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.1.2.9.1.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{2}$ .

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Schritt 1.1.2.9.1.6.1.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{1 + {(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.1.2.9.1.6.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1 + {(- 1)}^{1 + 2}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.1.2.9.1.6.2

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{1 + {(- 1)}^{3}}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.1.2.9.1.7

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.1.2.9.2

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 3}$

Schritt 1.1.3

Berechne den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 1.1.3.1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1.3.1.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $3$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - lim_{x \to 3} 3}$

Schritt 1.1.3.1.2

Berechne den Grenzwert von $3$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$\frac{0}{lim_{x \to 3} x - 1 \cdot 3}$

Schritt 1.1.3.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $3$ für $x$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Schritt 1.1.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.1.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Schritt 1.1.3.3.2

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.3.3

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.3.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$\frac{0}{0}$

Schritt 1.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 3} \frac{{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}}{x - 3} = lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 1.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - 2)}^{2} - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.2

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [(x - 2) (x - 2) - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.3

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x (x - 2) - 2 (x - 2) - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.4.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.4.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.4.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - {(x - 4)}^{2}]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.5

Schreibe ${(x - 4)}^{2}$ als $(x - 4) (x - 4)$ um.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - ((x - 4) (x - 4))]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.6

Multipliziere $(x - 4) (x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x (x - 4) - 4 (x - 4))]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4))]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.3.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.7.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.7.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.7.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 4 x - 4 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.7.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.8

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 4 x + 4 - (x^{2} - 8 x + 16)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.9

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.10

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 1.3.10.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.10.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.10.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.11

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 + \frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.12

Berechne $\frac{d}{d x} [- (x^{2} - 8 x + 16)]$ .

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Schritt 1.3.12.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (x^{2} - 8 x + 16)$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 16]}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} - 8 x + 16$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.12.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.12.4

Da $- 8$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 8 x$ nach $x$ gleich $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.12.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [16])}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.12.6

Da $16$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $16$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 \cdot 1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.12.7

Mutltipliziere $- 8$ mit $1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.12.8

Addiere $2 x - 8$ und $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x - 8)}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.13

Vereinfache.

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Schritt 1.3.13.1

Wende das Distributivgesetz an.

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 + 0 - (2 x) - - 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.13.2

Vereine die Terme

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Schritt 1.3.13.2.1

Addiere $2 x - 4$ und $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 - (2 x) - - 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.13.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 - 2 x - - 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.13.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$lim_{x \to 3} \frac{2 x - 4 - 2 x + 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.13.2.4

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$lim_{x \to 3} \frac{0 - 4 + 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.13.2.5

Subtrahiere $4$ von $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{- 4 + 8}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.13.2.6

Addiere $- 4$ und $8$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4}{\frac{d}{d x} [x - 3]}$

Schritt 1.3.14

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 3$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 1.3.15

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4}{1 + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Schritt 1.3.16

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 3$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4}{1 + 0}$

Schritt 1.3.17

Addiere $1$ und $0$ .

$lim_{x \to 3} \frac{4}{1}$

Schritt 1.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$lim_{x \to 3} 4$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert von $4$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $3$ annähert.

$4$