Analysis Beispiele

$lim_{x \to 0} {(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}}$

Schritt 1

Wende die Logarithmengesetze an, um den Grenzwert zu vereinfachen.

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Schritt 1.1

Schreibe ${(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}}$ als $e^{\ln ({(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}})}$ um.

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}})}$

Schritt 1.2

Zerlege $\ln ({(1 + \arctan (x))}^{\frac{1}{x}})$ durch Herausziehen von $\frac{1}{x}$ aus dem Logarithmus.

$lim_{x \to 0} e^{\frac{1}{x} \ln (1 + \arctan (x))}$

Schritt 2

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 2.1

Bringe den Grenzwert in den Exponenten.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \ln (1 + \arctan (x))}$

Schritt 2.2

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $\ln (1 + \arctan (x))$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \arctan (x))}{x}}$

Schritt 3

Wende die Regel von de L’Hospital an.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert des Zählers und den Grenzwert des Nenners.

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Schritt 3.1.1

Bilde den Grenzwert für den Zähler und den Grenzwert für den Nenner.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2

Berechne den Grenzwert des Zählers.

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Schritt 3.1.2.1

Bringe den Grenzwert in den Logarithmus.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.3

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$e^{\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} \arctan (x))}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.4

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 3.1.2.4.1

Berechne den Grenzwert von $\arctan (x)$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{\ln (1 + \arctan (0))}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.4.2

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$e^{\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.1.2.5.1

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.2.5.2

Der natürliche Logarithmus von $1$ ist $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to 0} x}}$

Schritt 3.1.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Schritt 3.1.4

Der Ausdruck enthält eine Division durch $0$ . Der Ausdruck ist nicht definiert.

Undefiniert

$e^{\frac{0}{0}}$

Schritt 3.2

Da $\frac{0}{0}$ unbestimmt ist, wende die Regel von L'Hospital an. Die Regel von L'Hospital besagt, dass der Grenzwert eines Quotienten von Funktionen gleich dem Grenzwert des Quotienten ihrer Ableitungen ist.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \arctan (x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \arctan (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Schritt 3.3

Bestimme die Ableitung des Zählers und des Nenners.

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Schritt 3.3.1

Differenziere den Zähler und Nenner.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \arctan (x))]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = \ln (x)$ und $g (x) = 1 + \arctan (x)$ .

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Schritt 3.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $1 + \arctan (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + \arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2.2

Die Ableitung von $\ln (u)$ nach $u$ ist $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + \arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $1 + \arctan (x)$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} \frac{d}{d x} [1 + \arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + \arctan (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} (0 + \frac{d}{d x} [\arctan (x)])}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.5

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [\arctan (x)]$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} \frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.6

Die Ableitung von $\arctan (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \arctan (x)} \cdot \frac{1}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.7

Mutltipliziere $\frac{1}{1 + \arctan (x)}$ mit $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}{\frac{d}{d x} [x]}}$

Schritt 3.3.8

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}{1}}$

Schritt 3.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})} \cdot 1}$

Schritt 3.5

Mutltipliziere $\frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}$ mit $1$ .

$e^{lim_{x \to 0} \frac{1}{(1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 4.1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}$

Schritt 4.2

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 0} (1 + \arctan (x)) (1 + x^{2})}}$

Schritt 4.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Produktregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 0} 1 + \arctan (x) \cdot lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

Schritt 4.4

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{(lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

Schritt 4.5

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot lim_{x \to 0} 1 + x^{2}}}$

Schritt 4.6

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x^{2})}}$

Schritt 4.7

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $0$ annähert.

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot (1 + lim_{x \to 0} x^{2})}}$

Schritt 4.8

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$e^{\frac{1}{(1 + lim_{x \to 0} \arctan (x)) \cdot (1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $0$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $\arctan (x)$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{1}{(1 + \arctan (0)) \cdot (1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}}$

Schritt 5.2

Der genau Wert von $\arctan (0)$ ist $0$ .

$e^{\frac{1}{(1 + 0) \cdot (1 + {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}}$

Schritt 5.3

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $0$ für $x$ .

$e^{\frac{1}{(1 + 0) \cdot (1 + 0^{2})}}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1.1

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{\frac{1}{1 (1 + 0^{2})}}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $1 + 0^{2}$ mit $1$ .

$e^{\frac{1}{1 + 0^{2}}}$

Schritt 6.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$e^{\frac{1}{1 + 0}}$

Schritt 6.1.4

Addiere $1$ und $0$ .

$e^{\frac{1}{1}}$

Schritt 6.2

Dividiere $1$ durch $1$ .

$e^{1}$

Schritt 6.3

Vereinfache.

$e$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$e$

Dezimalform:

$2.71828182 \dots$