Analysis Beispiele

$f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Schritt 1

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 2

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int 2 \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Schritt 4

Sei $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Dann ist $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , folglich $2 d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.1

Es sei $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 4.1.1

Differenziere $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Schritt 4.1.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x}{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Schritt 4.1.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2}$

Schritt 4.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Schritt 5

Vereinfache.

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Schritt 5.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{2}$ zu dividieren.

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

Schritt 5.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

Schritt 5.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sin^{2} (u_{1})$ .

$2 \int 2 \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 6

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 (2 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Schritt 7

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$4 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Schritt 8

Benutze die Halbwinkelformel, um $\sin^{2} (u_{1})$ als $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ neu zu schreiben.

$4 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Schritt 9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$4 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 10

Vereinfache.

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Schritt 10.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $4$ .

$\frac{4}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 10.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 10.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 10.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 10.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 10.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{1} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 10.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$2 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Schritt 11

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$2 (\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 12

Wende die Konstantenregel an.

$2 (u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 13

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Schritt 14

Sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 14.1

Es sei $u_{2} = 2 u_{1}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Schritt 14.1.1

Differenziere $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Schritt 14.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ist die Ableitung von $2 u_{1}$ nach $u_{1}$ gleich $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Schritt 14.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ gleich $n {u_{1}}^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 14.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 14.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$2 (u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Schritt 15

Kombiniere $\cos (u_{2})$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Schritt 16

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2}))$

Schritt 17

Das Integral von $\cos (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $\sin (u_{2})$ .

$2 (u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Schritt 18

Vereinfache.

$2 (u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Schritt 19

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 19.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Schritt 19.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 u_{1}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Schritt 19.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2})) + C$

Schritt 20

Vereinfache.

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Schritt 20.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 20.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 20.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2})) + C$

Schritt 20.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (x)) + C$

Schritt 20.1.2

Kombiniere $\sin (x)$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 (\frac{x}{2} - \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Schritt 20.2

Wende das Distributivgesetz an.

$2 \frac{x}{2} + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Schritt 20.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 20.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{x}{2} + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Schritt 20.3.2

Forme den Ausdruck um.

$x + 2 (- \frac{\sin (x)}{2}) + C$

Schritt 20.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 20.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\sin (x)}{2}$ in den Zähler.

$x + 2 \frac{- \sin (x)}{2} + C$

Schritt 20.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x + 2 \frac{- \sin (x)}{2} + C$

Schritt 20.4.3

Forme den Ausdruck um.

$x - \sin (x) + C$

Schritt 21

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = 2 \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $x - \sin (x) + C$