Analysis Beispiele

$- \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$

Schritt 1

Schreibe $- \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ als Funktion.

$f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}] + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Schritt 2.1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{20} x^{5}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Da $- \frac{3}{20}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3}{20} x^{5}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{3}{20} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- \frac{3}{20} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 5 (\frac{3}{20}) x^{4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.4

Kombiniere $- 5$ und $\frac{3}{20}$ .

$\frac{- 5 \cdot 3}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.5

Mutltipliziere $- 5$ mit $3$ .

$\frac{- 15}{20} x^{4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.6

Kombiniere $\frac{- 15}{20}$ und $x^{4}$ .

$\frac{- 15 x^{4}}{20} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 15$ und $20$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.7.1

Faktorisiere $5$ aus $- 15 x^{4}$ heraus.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{20} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.7.2.1

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 (4)} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 (- 3 x^{4})}{5 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Schritt 2.1.2.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3 x^{4}}{4} + \frac{d}{d x} [11 x^{3}]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [11 x^{3}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.3.1

Da $11$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $11 x^{3}$ nach $x$ gleich $11 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{3 x^{4}}{4} + 11 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- \frac{3 x^{4}}{4} + 11 (3 x^{2})$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $11$ .

$f' (x) = - \frac{3 x^{4}}{4} + 33 x^{2}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{3 x^{4}}{4} + 33 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}] + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{4}}{4}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.1

Da $- \frac{3}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3 x^{4}}{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{3}{4} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- \frac{3}{4} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 (\frac{3}{4}) x^{3} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3}{4}$ .

$\frac{- 4 \cdot 3}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.5

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$\frac{- 12}{4} x^{3} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.6

Kombiniere $\frac{- 12}{4}$ und $x^{3}$ .

$\frac{- 12 x^{3}}{4} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.7.1

Faktorisiere $4$ aus $- 12 x^{3}$ heraus.

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.2.7.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 (1)} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 (- 3 x^{3})}{4 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Schritt 2.2.2.7.2.4

Dividiere $- 3 x^{3}$ durch $1$ .

$- 3 x^{3} + \frac{d}{d x} [33 x^{2}]$

Schritt 2.2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [33 x^{2}]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.3.1

Da $33$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $33 x^{2}$ nach $x$ gleich $33 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 3 x^{3} + 33 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 3 x^{3} + 33 (2 x)$

Schritt 2.2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $33$ .

$f'' (x) = - 3 x^{3} + 66 x$

Schritt 2.3

Die zweite Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $- 3 x^{3} + 66 x$ .

$- 3 x^{3} + 66 x$

Schritt 3

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $- 3 x^{3} + 66 x = 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze die zweite Ableitung gleich $0$ .

$- 3 x^{3} + 66 x = 0$

Schritt 3.2

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x^{3} + 66 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.2.1

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x^{3}$ heraus.

$- 3 x \cdot x^{2} + 66 x = 0$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $- 3 x$ aus $66 x$ heraus.

$- 3 x \cdot x^{2} - 3 x \cdot - 22 = 0$

Schritt 3.2.3

Faktorisiere $- 3 x$ aus $- 3 x (x^{2}) - 3 x (- 22)$ heraus.

$- 3 x (x^{2} - 22) = 0$

Schritt 3.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 22 = 0$

Schritt 3.4

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 3.5

Setze $x^{2} - 22$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Setze $x^{2} - 22$ gleich $0$ .

$x^{2} - 22 = 0$

Schritt 3.5.2

Löse $x^{2} - 22 = 0$ nach $x$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Addiere $22$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x^{2} = 22$

Schritt 3.5.2.2

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{22}$

Schritt 3.5.2.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.3.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$x = \sqrt{22}$

Schritt 3.5.2.3.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$x = - \sqrt{22}$

Schritt 3.5.2.3.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$x = \sqrt{22}, - \sqrt{22}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $- 3 x (x^{2} - 22) = 0$ wahr machen.

$x = 0, \sqrt{22}, - \sqrt{22}$

Schritt 4

Bestimme die Punkte, an denen die zweite Ableitung gleich $0$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ersetze $0$ in $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $0$ .

$f (0) = - \frac{3}{20} \cdot {(0)}^{5} + 11 {(0)}^{3}$

Schritt 4.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = - \frac{3}{20} \cdot 0 + 11 {(0)}^{3}$

Schritt 4.1.2.1.2

Multipliziere $- \frac{3}{20} \cdot 0$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.2.1.2.1

Mutltipliziere $0$ mit $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{3}{20}) + 11 {(0)}^{3}$

Schritt 4.1.2.1.2.2

Mutltipliziere $0$ mit $\frac{3}{20}$ .

$f (0) = 0 + 11 {(0)}^{3}$

Schritt 4.1.2.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$f (0) = 0 + 11 \cdot 0$

Schritt 4.1.2.1.4

Mutltipliziere $11$ mit $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Schritt 4.1.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$f (0) = 0$

Schritt 4.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $0$ .

$0$

Schritt 4.2

Der Punkt, der durch Einsetzen von $0$ in $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(0, 0)$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(0, 0)$

Schritt 4.3

Ersetze $\sqrt{22}$ in $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\sqrt{22}$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot {(\sqrt{22})}^{5} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.1

Schreibe ${\sqrt{22}}^{5}$ als $\sqrt{22^{5}}$ um.

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot \sqrt{22^{5}} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.2

Potenziere $22$ mit $5$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot \sqrt{5153632} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.3

Schreibe $5153632$ als $484^{2} \cdot 22$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.3.1

Faktorisiere $234256$ aus $5153632$ heraus.

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot \sqrt{234256 (22)} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.3.2

Schreibe $234256$ als $484^{2}$ um.

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot \sqrt{484^{2} \cdot 22} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.4

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot (484 \sqrt{22}) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{20}$ in den Zähler.

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 3}{20} \cdot (484 \sqrt{22}) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.5.2

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 3}{4 (5)} \cdot (484 \sqrt{22}) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.5.3

Faktorisiere $4$ aus $484 \sqrt{22}$ heraus.

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 3}{4 (5)} \cdot (4 (121 \sqrt{22})) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 3}{4 \cdot 5} \cdot (4 (121 \sqrt{22})) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.5.5

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 3}{5} \cdot (121 \sqrt{22}) + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.6

Kombiniere $121$ und $\frac{- 3}{5}$ .

$f (\sqrt{22}) = \frac{121 \cdot - 3}{5} \cdot \sqrt{22} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.7

Mutltipliziere $121$ mit $- 3$ .

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 363}{5} \cdot \sqrt{22} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.8

Kombiniere $\frac{- 363}{5}$ und $\sqrt{22}$ .

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 363 \sqrt{22}}{5} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 {(\sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.3.2.1.10

Schreibe ${\sqrt{22}}^{3}$ als $\sqrt{22^{3}}$ um.

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 \sqrt{22^{3}}$

Schritt 4.3.2.1.11

Potenziere $22$ mit $3$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 \sqrt{10648}$

Schritt 4.3.2.1.12

Schreibe $10648$ als $22^{2} \cdot 22$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1.12.1

Faktorisiere $484$ aus $10648$ heraus.

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 \sqrt{484 (22)}$

Schritt 4.3.2.1.12.2

Schreibe $484$ als $22^{2}$ um.

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 \sqrt{22^{2} \cdot 22}$

Schritt 4.3.2.1.13

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (22 \sqrt{22})$

Schritt 4.3.2.1.14

Mutltipliziere $22$ mit $11$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 242 \sqrt{22}$

Schritt 4.3.2.2

Um $242 \sqrt{22}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 242 \sqrt{22} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 4.3.2.3

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.3.1

Kombiniere $242 \sqrt{22}$ und $\frac{5}{5}$ .

$f (\sqrt{22}) = - \frac{363 \sqrt{22}}{5} + \frac{242 \sqrt{22} \cdot 5}{5}$

Schritt 4.3.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 363 \sqrt{22} + 242 \sqrt{22} \cdot 5}{5}$

Schritt 4.3.2.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $242$ .

$f (\sqrt{22}) = \frac{- 363 \sqrt{22} + 1210 \sqrt{22}}{5}$

Schritt 4.3.2.4.2

Addiere $- 363 \sqrt{22}$ und $1210 \sqrt{22}$ .

$f (\sqrt{22}) = \frac{847 \sqrt{22}}{5}$

Schritt 4.3.2.5

Die endgültige Lösung ist $\frac{847 \sqrt{22}}{5}$ .

$\frac{847 \sqrt{22}}{5}$

Schritt 4.4

Der Punkt, der durch Einsetzen von $\sqrt{22}$ in $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(\sqrt{22}, \frac{847 \sqrt{22}}{5})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(\sqrt{22}, \frac{847 \sqrt{22}}{5})$

Schritt 4.5

Ersetze $- \sqrt{22}$ in $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ , um den Wert von $y$ zu ermitteln.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \sqrt{22}$ .

$f (- \sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot {(- \sqrt{22})}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1.1

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{22}$ an.

$f (- \sqrt{22}) = - \frac{3}{20} \cdot ({(- 1)}^{5} {\sqrt{22}}^{5}) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.2

Multipliziere $- 1$ mit ${(- 1)}^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1.2.1

Bewege ${(- 1)}^{5}$ .

$f (- \sqrt{22}) = {(- 1)}^{5} \cdot (- 1 (\frac{3}{20})) \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.2.2

Mutltipliziere ${(- 1)}^{5}$ mit $- 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1.2.2.1

Potenziere $- 1$ mit $1$ .

$f (- \sqrt{22}) = {(- 1)}^{5} \cdot ((- 1) (\frac{3}{20})) \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (- \sqrt{22}) = {(- 1)}^{5 + 1} (\frac{3}{20}) \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.2.3

Addiere $5$ und $1$ .

$f (- \sqrt{22}) = {(- 1)}^{6} (\frac{3}{20}) \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $6$ .

$f (- \sqrt{22}) = 1 (\frac{3}{20}) \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{3}{20}$ mit $1$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot {\sqrt{22}}^{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.5

Schreibe ${\sqrt{22}}^{5}$ als $\sqrt{22^{5}}$ um.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot \sqrt{22^{5}} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.6

Potenziere $22$ mit $5$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot \sqrt{5153632} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.7

Schreibe $5153632$ als $484^{2} \cdot 22$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1.7.1

Faktorisiere $234256$ aus $5153632$ heraus.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot \sqrt{234256 (22)} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.7.2

Schreibe $234256$ als $484^{2}$ um.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot \sqrt{484^{2} \cdot 22} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{20} \cdot (484 \sqrt{22}) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1.9.1

Faktorisiere $4$ aus $20$ heraus.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{4 (5)} \cdot (484 \sqrt{22}) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.9.2

Faktorisiere $4$ aus $484 \sqrt{22}$ heraus.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{4 (5)} \cdot (4 (121 \sqrt{22})) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.9.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{4 \cdot 5} \cdot (4 (121 \sqrt{22})) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.9.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{3}{5} \cdot (121 \sqrt{22}) + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.10

Kombiniere $121$ und $\frac{3}{5}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{121 \cdot 3}{5} \cdot \sqrt{22} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.11

Mutltipliziere $121$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363}{5} \cdot \sqrt{22} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.12

Kombiniere $\frac{363}{5}$ und $\sqrt{22}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 {(- \sqrt{22})}^{3}$

Schritt 4.5.2.1.13

Wende die Produktregel auf $- \sqrt{22}$ an.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 ({(- 1)}^{3} {\sqrt{22}}^{3})$

Schritt 4.5.2.1.14

Potenziere $- 1$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- {\sqrt{22}}^{3})$

Schritt 4.5.2.1.15

Schreibe ${\sqrt{22}}^{3}$ als $\sqrt{22^{3}}$ um.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- \sqrt{22^{3}})$

Schritt 4.5.2.1.16

Potenziere $22$ mit $3$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- \sqrt{10648})$

Schritt 4.5.2.1.17

Schreibe $10648$ als $22^{2} \cdot 22$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.1.17.1

Faktorisiere $484$ aus $10648$ heraus.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- \sqrt{484 (22)})$

Schritt 4.5.2.1.17.2

Schreibe $484$ als $22^{2}$ um.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- \sqrt{22^{2} \cdot 22})$

Schritt 4.5.2.1.18

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- (22 \sqrt{22}))$

Schritt 4.5.2.1.19

Mutltipliziere $22$ mit $- 1$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + 11 (- 22 \sqrt{22})$

Schritt 4.5.2.1.20

Mutltipliziere $- 22$ mit $11$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} - 242 \sqrt{22}$

Schritt 4.5.2.2

Um $- 242 \sqrt{22}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} - 242 \sqrt{22} \cdot \frac{5}{5}$

Schritt 4.5.2.3

Kombiniere Brüche.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.3.1

Kombiniere $- 242 \sqrt{22}$ und $\frac{5}{5}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22}}{5} + \frac{- 242 \sqrt{22} \cdot 5}{5}$

Schritt 4.5.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22} - 242 \sqrt{22} \cdot 5}{5}$

Schritt 4.5.2.4

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.5.2.4.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 242$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{363 \sqrt{22} - 1210 \sqrt{22}}{5}$

Schritt 4.5.2.4.2

Subtrahiere $1210 \sqrt{22}$ von $363 \sqrt{22}$ .

$f (- \sqrt{22}) = \frac{- 847 \sqrt{22}}{5}$

Schritt 4.5.2.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \sqrt{22}) = - \frac{847 \sqrt{22}}{5}$

Schritt 4.5.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{847 \sqrt{22}}{5}$ .

$- \frac{847 \sqrt{22}}{5}$

Schritt 4.6

Der Punkt, der durch Einsetzen von $- \sqrt{22}$ in $f (x) = - \frac{3}{20} x^{5} + 11 x^{3}$ ermittelt werden kann, ist $(- \sqrt{22}, - \frac{847 \sqrt{22}}{5})$ . Dieser Punkt kann ein Wendepunkt sein.

$(- \sqrt{22}, - \frac{847 \sqrt{22}}{5})$

Schritt 4.7

Bestimme die Punkte, die Wendepunkte sein könnten.

$(0, 0), (\sqrt{22}, \frac{847 \sqrt{22}}{5}), (- \sqrt{22}, - \frac{847 \sqrt{22}}{5})$

Schritt 5

Teile $(- \infty, \infty)$ in Intervalle um die Punkte herum, die potentiell Wendepunkte sein könnten.

$(- \infty, - \sqrt{22}) \cup (- \sqrt{22}, 0) \cup (0, \sqrt{22}) \cup (\sqrt{22}, \infty)$

Schritt 6

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \infty, - \sqrt{22})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 4.79041575$ .

$f'' (- 4.79041575) = - 3 {(- 4.79041575)}^{3} + 66 (- 4.79041575)$

Schritt 6.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.2.1.1

Potenziere $- 4.79041575$ mit $3$ .

$f'' (- 4.79041575) = - 3 \cdot - 109.93085918 + 66 (- 4.79041575)$

Schritt 6.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 109.93085918$ .

$f'' (- 4.79041575) = 329.79257756 + 66 (- 4.79041575)$

Schritt 6.2.1.3

Mutltipliziere $66$ mit $- 4.79041575$ .

$f'' (- 4.79041575) = 329.79257756 - 316.16744014$

Schritt 6.2.2

Subtrahiere $316.16744014$ von $329.79257756$ .

$f'' (- 4.79041575) = 13.62513741$

Schritt 6.2.3

Die endgültige Lösung ist $13.62513741$ .

$13.62513741$

Schritt 6.3

Bei $- 4.79041575$ ist die zweite Ableitung $13.62513741$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(- \infty, - \sqrt{22})$ .

Ansteigend im Intervall $(- \infty, - \sqrt{22})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 7

Setze einen Wert aus dem Intervall $(- \sqrt{22}, 0)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- 2.34520787$ .

$f'' (- 2.34520787) = - 3 {(- 2.34520787)}^{3} + 66 (- 2.34520787)$

Schritt 7.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 7.2.1.1

Potenziere $- 2.34520787$ mit $3$ .

$f'' (- 2.34520787) = - 3 \cdot - 12.89864333 + 66 (- 2.34520787)$

Schritt 7.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 12.89864333$ .

$f'' (- 2.34520787) = 38.69593001 + 66 (- 2.34520787)$

Schritt 7.2.1.3

Mutltipliziere $66$ mit $- 2.34520787$ .

$f'' (- 2.34520787) = 38.69593001 - 154.78372007$

Schritt 7.2.2

Subtrahiere $154.78372007$ von $38.69593001$ .

$f'' (- 2.34520787) = - 116.08779005$

Schritt 7.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 116.08779005$ .

$- 116.08779005$

Schritt 7.3

Bei $- 2.34520787$ , die zweite Ableitung ist $- 116.08779005$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(- \sqrt{22}, 0)$

Abfallend im Intervall $(- \sqrt{22}, 0)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 8

Setze einen Wert aus dem Intervall $(0, \sqrt{22})$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $2.34520787$ .

$f'' (2.34520787) = - 3 {(2.34520787)}^{3} + 66 (2.34520787)$

Schritt 8.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.2.1.1

Potenziere $2.34520787$ mit $3$ .

$f'' (2.34520787) = - 3 \cdot 12.89864333 + 66 (2.34520787)$

Schritt 8.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $12.89864333$ .

$f'' (2.34520787) = - 38.69593001 + 66 (2.34520787)$

Schritt 8.2.1.3

Mutltipliziere $66$ mit $2.34520787$ .

$f'' (2.34520787) = - 38.69593001 + 154.78372007$

Schritt 8.2.2

Addiere $- 38.69593001$ und $154.78372007$ .

$f'' (2.34520787) = 116.08779005$

Schritt 8.2.3

Die endgültige Lösung ist $116.08779005$ .

$116.08779005$

Schritt 8.3

Bei $2.34520787$ ist die zweite Ableitung $116.08779005$ . Da dies positiv ist, steigt die zweite Ableitung auf dem Intervall $(0, \sqrt{22})$ .

Ansteigend im Intervall $(0, \sqrt{22})$ , da $f'' (x) > 0$

Schritt 9

Setze einen Wert aus dem Intervall $(\sqrt{22}, \infty)$ in die zweite Ableitung ein, um festzustellen, ob sie ansteigend oder abfallend ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $4.79041575$ .

$f'' (4.79041575) = - 3 {(4.79041575)}^{3} + 66 (4.79041575)$

Schritt 9.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.2.1.1

Potenziere $4.79041575$ mit $3$ .

$f'' (4.79041575) = - 3 \cdot 109.93085918 + 66 (4.79041575)$

Schritt 9.2.1.2

Mutltipliziere $- 3$ mit $109.93085918$ .

$f'' (4.79041575) = - 329.79257756 + 66 (4.79041575)$

Schritt 9.2.1.3

Mutltipliziere $66$ mit $4.79041575$ .

$f'' (4.79041575) = - 329.79257756 + 316.16744014$

Schritt 9.2.2

Addiere $- 329.79257756$ und $316.16744014$ .

$f'' (4.79041575) = - 13.62513741$

Schritt 9.2.3

Die endgültige Lösung ist $- 13.62513741$ .

$- 13.62513741$

Schritt 9.3

Bei $4.79041575$ , die zweite Ableitung ist $- 13.62513741$ . Da diese negativ ist, fällt die zweite Ableitung im Intervall $(\sqrt{22}, \infty)$

Abfallend im Intervall $(\sqrt{22}, \infty)$ da $f'' (x) < 0$

Schritt 10

Ein Wendepunkt ist ein Punkt auf einer Kurve, an dem die Konkavität das Vorzeichen von Plus zu Minus oder von Minus zu Plus ändert. In diesem Fall sind die Wendepunkte $(- \sqrt{22}, - \frac{847 \sqrt{22}}{5}), (0, 0), (\sqrt{22}, \frac{847 \sqrt{22}}{5})$ .

$(- \sqrt{22}, - \frac{847 \sqrt{22}}{5}), (0, 0), (\sqrt{22}, \frac{847 \sqrt{22}}{5})$

Schritt 11