Analysis Beispiele

$\int \frac{10 \sqrt[3]{5 x - 2}}{3} d x$

Schritt 1

Da $\frac{10}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{10}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{10}{3} \int \sqrt[3]{5 x - 2} d x$

Schritt 2

Sei $u = 5 x - 2$ . Dann ist $d u = 5 d x$ , folglich $\frac{1}{5} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.1

Es sei $u = 5 x - 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.1.1

Differenziere $5 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [5 x - 2]$

Schritt 2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $5 x - 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Schritt 2.1.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $5 x$ nach $x$ gleich $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.3.3

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Schritt 2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.1.4.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$5 + 0$

Schritt 2.1.4.2

Addiere $5$ und $0$ .

$5$

Schritt 2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{10}{3} \int \sqrt[3]{u} \frac{1}{5} d u$

Schritt 3

Kombiniere $\sqrt[3]{u}$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{10}{3} \int \frac{\sqrt[3]{u}}{5} d u$

Schritt 4

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{5}$ aus dem Integral.

$\frac{10}{3} (\frac{1}{5} \int \sqrt[3]{u} d u)$

Schritt 5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.1

Vereinfache.

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Schritt 5.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{5}$ mit $\frac{10}{3}$ .

$\frac{10}{5 \cdot 3} \int \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 5.1.2

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$\frac{10}{15} \int \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 5.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $15$ .

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Schritt 5.1.3.1

Faktorisiere $5$ aus $10$ heraus.

$\frac{5 (2)}{15} \int \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 5.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.1.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $15$ heraus.

$\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 3} \int \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 5.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 3} \int \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 5.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3} \int \sqrt[3]{u} d u$

Schritt 5.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{u}$ als $u^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$\frac{2}{3} \int u^{\frac{1}{3}} d u$

Schritt 6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{1}{3}}$ nach $u$ gleich $\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{2}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Schreibe $\frac{2}{3} (\frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C)$ als $\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$ um.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $\frac{3}{4}$ .

$\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 7.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{6}{3 \cdot 4} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 7.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$\frac{6}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 7.2.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $12$ .

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Schritt 7.2.4.1

Faktorisiere $6$ aus $6$ heraus.

$\frac{6 (1)}{12} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 7.2.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 7.2.4.2.1

Faktorisiere $6$ aus $12$ heraus.

$\frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 7.2.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \cdot 1}{6 \cdot 2} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 7.2.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} u^{\frac{4}{3}} + C$

Schritt 8

Ersetze alle $u$ durch $5 x - 2$ .

$\frac{1}{2} {(5 x - 2)}^{\frac{4}{3}} + C$