Analysis Beispiele

$\int_{0}^{1} (x^{16} + 16^{x}) d x$

Schritt 1

Entferne die Klammern.

$\int_{0}^{1} x^{16} + 16^{x} d x$

Schritt 2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int_{0}^{1} x^{16} d x + \int_{0}^{1} 16^{x} d x$

Schritt 3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{16}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{17} x^{17}$ .

$\frac{1}{17} x^{17}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 16^{x} d x$

Schritt 4

Das Integral von $16^{x}$ nach $x$ ist $\frac{16^{x}}{\ln (16)}$ .

$\frac{1}{17} x^{17}]_{0}^{1} + \frac{16^{x}}{\ln (16)}]_{0}^{1}$

Schritt 5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 5.1

Kombiniere $\frac{1}{17} x^{17}]_{0}^{1}$ und $\frac{16^{x}}{\ln (16)}]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{17} x^{17} + \frac{16^{x}}{\ln (16)}]_{0}^{1}$

Schritt 5.2

Substituiere und vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Berechne $\frac{1}{17} x^{17} + \frac{16^{x}}{\ln (16)}$ bei $1$ und $0$ .

$(\frac{1}{17} \cdot 1^{17} + \frac{16^{1}}{\ln (16)}) - (\frac{1}{17} \cdot 0^{17} + \frac{16^{0}}{\ln (16)})$

Schritt 5.2.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1}{17} \cdot 1 + \frac{16^{1}}{\ln (16)} - (\frac{1}{17} \cdot 0^{17} + \frac{16^{0}}{\ln (16)})$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{17}$ mit $1$ .

$\frac{1}{17} + \frac{16^{1}}{\ln (16)} - (\frac{1}{17} \cdot 0^{17} + \frac{16^{0}}{\ln (16)})$

Schritt 5.2.2.3

Berechne den Exponenten.

$\frac{1}{17} + \frac{16}{\ln (16)} - (\frac{1}{17} \cdot 0^{17} + \frac{16^{0}}{\ln (16)})$

Schritt 5.2.2.4

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$\frac{1}{17} + \frac{16}{\ln (16)} - (\frac{1}{17} \cdot 0 + \frac{16^{0}}{\ln (16)})$

Schritt 5.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{1}{17}$ mit $0$ .

$\frac{1}{17} + \frac{16}{\ln (16)} - (0 + \frac{16^{0}}{\ln (16)})$

Schritt 5.2.2.6

Alles, was mit $0$ potenziert wird, ist $1$ .

$\frac{1}{17} + \frac{16}{\ln (16)} - (0 + \frac{1}{\ln (16)})$

Schritt 5.2.2.7

Addiere $0$ und $\frac{1}{\ln (16)}$ .

$\frac{1}{17} + \frac{16}{\ln (16)} - \frac{1}{\ln (16)}$

Schritt 5.2.2.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{17} + \frac{16 - 1}{\ln (16)}$

Schritt 5.2.2.9

Subtrahiere $1$ von $16$ .

$\frac{1}{17} + \frac{15}{\ln (16)}$

Schritt 6

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.1

Schreibe $\ln (16)$ als $\ln (2^{4})$ um.

$\frac{1}{17} + \frac{15}{\ln (2^{4})}$

Schritt 6.2

Zerlege $\ln (2^{4})$ durch Herausziehen von $4$ aus dem Logarithmus.

$\frac{1}{17} + \frac{15}{4 \ln (2)}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\frac{1}{17} + \frac{15}{4 \ln (2)}$

Dezimalform:

$5.46892993 \dots$

Schritt 8