Analysis Beispiele

$a^{3} y = x^{2} (2 a^{2} - x^{2})$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (a^{3} y) = \frac{d}{d x} (x^{2} (2 a^{2} - x^{2}))$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Da $a^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $a^{3} y$ nach $x$ gleich $a^{3} \frac{d}{d x} [y]$ .

$a^{3} \frac{d}{d x} [y]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$a^{3} y'$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = 2 a^{2} - x^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [2 a^{2} - x^{2}] + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 a^{2} - x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x^{2} (\frac{d}{d x} [2 a^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.2

Da $2 a^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 a^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x^{2} (- (2 x)) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x^{2} (- 2 x) + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Bewege $x$ .

$x \cdot x^{2} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$x^{1} x^{2} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x^{1 + 2} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.3.3

Addiere $1$ und $2$ .

$x^{3} \cdot - 2 + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.4

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$- 2 \cdot x^{3} + (2 a^{2} - x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 x^{3} + (2 a^{2} - x^{2}) (2 x)$

Schritt 3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $2 a^{2} - x^{2}$ .

$- 2 x^{3} + 2 \cdot (2 a^{2} - x^{2}) x$

Schritt 3.7

Vereinfache.

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Schritt 3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x^{3} + (2 (2 a^{2}) + 2 (- x^{2})) x$

Schritt 3.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 2 x^{3} + 2 (2 a^{2}) x + 2 (- x^{2}) x$

Schritt 3.7.3

Vereine die Terme

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Schritt 3.7.3.1

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x + 2 (- x^{2}) x$

Schritt 3.7.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 x^{2} x$

Schritt 3.7.3.3

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 (x^{1} x^{2})$

Schritt 3.7.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 x^{1 + 2}$

Schritt 3.7.3.5

Addiere $1$ und $2$ .

$- 2 x^{3} + 4 a^{2} x - 2 x^{3}$

Schritt 3.7.3.6

Subtrahiere $2 x^{3}$ von $- 2 x^{3}$ .

$- 4 x^{3} + 4 a^{2} x$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$a^{3} y' = - 4 x^{3} + 4 a^{2} x$

Schritt 5

Teile jeden Ausdruck in $a^{3} y' = - 4 x^{3} + 4 a^{2} x$ durch $a^{3}$ und vereinfache.

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Schritt 5.1

Teile jeden Ausdruck in $a^{3} y' = - 4 x^{3} + 4 a^{2} x$ durch $a^{3}$ .

$\frac{a^{3} y'}{a^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $a^{3}$ .

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Schritt 5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{a^{3} y'}{a^{3}} = \frac{- 4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

Schritt 5.2.1.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 a^{2} x}{a^{3}}$

Schritt 5.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $a^{2}$ und $a^{3}$ .

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Schritt 5.3.1.2.1

Faktorisiere $a^{2}$ aus $4 a^{2} x$ heraus.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{2} (4 x)}{a^{3}}$

Schritt 5.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.1.2.2.1

Faktorisiere $a^{2}$ aus $a^{3}$ heraus.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{2} (4 x)}{a^{2} a}$

Schritt 5.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{a^{2} (4 x)}{a^{2} a}$

Schritt 5.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 x}{a}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4 x^{3}}{a^{3}} + \frac{4 x}{a}$