Analysis Beispiele

$y = \frac{e^{x}}{x}$

Schritt 1

Ermittle die erste Ableitung der Funktion.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x - e^{x}$ heraus.

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x$ heraus.

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x}$ heraus.

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Schritt 1.4.2.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ heraus.

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Schritt 2

Ermittle die zweite Ableitung der Funktion.

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Schritt 2.1

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{{(x^{2})}^{2}}$

Schritt 2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{2}$ .

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Schritt 2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{2 \cdot 2}}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} \frac{d}{d x} (e^{x} (x - 1)) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = x - 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} \frac{d}{d x} (x - 1) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4

Differenziere.

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Schritt 2.4.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (1 + \frac{d}{d x} (- 1)) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.4.4.1

Addiere $1$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.4.4.2

Mutltipliziere $e^{x}$ mit $1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) \frac{d}{d x} (e^{x})) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) \frac{d}{d x} x^{2}}{x^{4}}$

Schritt 2.6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 2.6.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - e^{x} (x - 1) (2 x)}{x^{4}}$

Schritt 2.6.2

Vereinfache durch Herausfaktorisieren.

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Schritt 2.6.2.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Schritt 2.6.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1) x$ heraus.

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Schritt 2.6.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{2} (e^{x} + (x - 1) e^{x})$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) - 2 e^{x} (x - 1) x}{x^{4}}$

Schritt 2.6.2.2.2

Faktorisiere $x$ aus $- 2 e^{x} (x - 1) x$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Schritt 2.6.2.2.3

Faktorisiere $x$ aus $x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x})) + x (- 2 e^{x} (x - 1))$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x^{4}}$

Schritt 2.7

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.7.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{4}$ heraus.

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 2.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f'' (x) = \frac{x (x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1))}{x \cdot x^{3}}$

Schritt 2.7.3

Forme den Ausdruck um.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + (x - 1) e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Schritt 2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x (e^{x} + x e^{x} - 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Schritt 2.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} (x - 1)}{x^{3}}$

Schritt 2.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f'' (x) = \frac{x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Schritt 2.8.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.8.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x e^{x} + x (x e^{x}) + x (- 1 e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1$ .

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Schritt 2.8.4.1.1

Ordne die Faktoren in den Termen $x e^{x}$ und $x (- 1 e^{x})$ neu an.

$f'' (x) = \frac{e^{x} x + x (x e^{x}) - e^{x} x - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Schritt 2.8.4.1.2

Subtrahiere $e^{x} x$ von $e^{x} x$ .

$f'' (x) = \frac{x (x e^{x}) + 0 - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Schritt 2.8.4.1.3

Addiere $x (x e^{x})$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{x (x e^{x}) - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Schritt 2.8.4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.8.4.2.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.8.4.2.1.1

Bewege $x$ .

$f'' (x) = \frac{x \cdot x e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Schritt 2.8.4.2.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x - 2 e^{x} \cdot - 1}{x^{3}}$

Schritt 2.8.4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Schritt 2.8.4.3

Stelle die Faktoren in $x^{2} e^{x} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}$ um.

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Schritt 2.8.5

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = \frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Schritt 2.8.6

Stelle die Faktoren in $\frac{e^{x} x^{2} - 2 e^{x} x + 2 e^{x}}{x^{3}}$ um.

$f'' (x) = \frac{x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}}{x^{3}}$

Schritt 3

Um die lokalen Maximum- und Minimumwerte einer Funktion zu ermitteln, setze die Ableitung gleich $0$ und löse die Gleichung.

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$

Schritt 4

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 4.1.1

$\frac{x \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Schritt 4.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel.

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Schritt 4.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} \cdot 1}{x^{2}}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$

Schritt 4.1.4

Vereinfache.

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Schritt 4.1.4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{e^{x} x - e^{x}}{x^{2}}$

Schritt 4.1.4.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x - e^{x}$ heraus.

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Schritt 4.1.4.2.1

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} x$ heraus.

$\frac{e^{x} (x) - e^{x}}{x^{2}}$

Schritt 4.1.4.2.2

Faktorisiere $e^{x}$ aus $- e^{x}$ heraus.

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1}{x^{2}}$

Schritt 4.1.4.2.3

Faktorisiere $e^{x}$ aus $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 1$ heraus.

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Schritt 4.2

Die erste Ableitung von $f (x)$ nach $x$ ist $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ .

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$

Schritt 5

Setze die erste Ableitung gleich $0$ , dann löse die Gleichung $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$ .

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Schritt 5.1

Setze die erste Ableitung gleich $0$ .

$\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}} = 0$

Schritt 5.2

Setze den Zähler gleich Null.

$e^{x} (x - 1) = 0$

Schritt 5.3

Löse die Gleichung nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 1 = 0$

Schritt 5.3.2

Setze $e^{x}$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Setze $e^{x}$ gleich $0$ .

$e^{x} = 0$

Schritt 5.3.2.2

Löse $e^{x} = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.2.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Schritt 5.3.2.2.2

Die Gleichung kann nicht gelöst werden, da $\ln (0)$ nicht definiert ist.

Undefiniert

Schritt 5.3.2.2.3

Es gibt keine Lösung für $e^{x} = 0$

Keine Lösung

Schritt 5.3.3

Setze $x - 1$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.3.1

Setze $x - 1$ gleich $0$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5.3.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $e^{x} (x - 1) = 0$ wahr machen.

$x = 1$

Schritt 6

Ermittle die Werte, wo die Ableitung nicht definiert ist.

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Schritt 6.1

Setze den Nenner in $\frac{e^{x} (x - 1)}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 6.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 6.2.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 6.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 6.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 6.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 7

Kritische Punkte zum auswerten.

$x = 1$

Schritt 8

Berechne die zweite Ableitung an der Stelle $x = 1$ . Wenn die zweite Ableitung positiv ist, dann ist dies ein lokales Minimum. Wenn sie negativ ist, dann ist dies ein lokales Maximum.

$\frac{{(1)}^{2} e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{{(1)}^{3}}$

Schritt 9

Berechne die zweite Ableitung.

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Schritt 9.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 9.1.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{1 e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

Schritt 9.1.2

Mutltipliziere $e^{1}$ mit $1$ .

$\frac{e^{1} - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

Schritt 9.1.3

Vereinfache.

$\frac{e - 2 \cdot 1 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

Schritt 9.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{e - 2 e^{1} + 2 e^{1}}{1^{3}}$

Schritt 9.1.5

Vereinfache.

$\frac{e - 2 e + 2 e^{1}}{1^{3}}$

Schritt 9.1.6

Vereinfache.

$\frac{e - 2 e + 2 e}{1^{3}}$

Schritt 9.1.7

Subtrahiere $2 e$ von $e$ .

$\frac{- e + 2 e}{1^{3}}$

Schritt 9.1.8

Addiere $- e$ und $2 e$ .

$\frac{e}{1^{3}}$

Schritt 9.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 9.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$\frac{e}{1}$

Schritt 9.2.2

Dividiere $e$ durch $1$ .

$e$

Schritt 10

$x = 1$ ist ein lokales Minimum, weil der Wert der zweiten Ableitung positiv ist. Dies wird auch der Prüfung der zweiten Ableitung genannt.

$x = 1$ ist ein lokales Minimum

Schritt 11

Ermittele den y-Wert, wenn $x = 1$ .

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Schritt 11.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $1$ .

$f (1) = \frac{e^{1}}{1}$

Schritt 11.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 11.2.1

Dividiere $e^{1}$ durch $1$ .

$f (1) = e$

Schritt 11.2.2

Die endgültige Lösung ist $e$ .

$y = e$

Schritt 12

Dies sind die lokalen Extrema für $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ .

$(1, e)$ ist ein lokales Minimum

Schritt 13