Analysis Beispiele

$x + 2 x y - y^{2} = 2$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d y} (x + 2 x y - y^{2}) = \frac{d}{d y} (2)$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2 x y - y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 2.2

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x' + \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [x y]$ .

$x' + 2 \frac{d}{d y} [x y] + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = x$ und $g (y) = y$ .

$x' + 2 (x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 2.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x' + 2 (x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 2.3.4

Schreibe $\frac{d}{d y} [x]$ als $x'$ um.

$x' + 2 (x \cdot 1 + y x') + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$x' + 2 (x + y x') + \frac{d}{d y} [- y^{2}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y^{2}$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$x' + 2 (x + y x') - \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 2.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$x' + 2 (x + y x') - (2 y)$

Schritt 2.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$x' + 2 (x + y x') - 2 y$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x' + 2 x + 2 (y x') - 2 y$

Schritt 2.5.2

Entferne unnötige Klammern.

$x' + 2 x + 2 y x' - 2 y$

Schritt 2.5.3

Stelle die Terme um.

$2 y x' + 2 x - 2 y + x'$

Schritt 3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$0$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y x' + 2 x - 2 y + x' = 0$

Schritt 5

Löse nach $x'$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die nicht $x'$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y x' - 2 y + x' = - 2 x$

Schritt 5.1.2

Addiere $2 y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 y x' + x' = - 2 x + 2 y$

Schritt 5.2

Faktorisiere $x'$ aus $2 y x' + x'$ heraus.

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Schritt 5.2.1

Faktorisiere $x'$ aus $2 y x'$ heraus.

$x' (2 y) + x' = - 2 x + 2 y$

Schritt 5.2.2

Potenziere $x'$ mit $1$ .

$x' (2 y) + x' = - 2 x + 2 y$

Schritt 5.2.3

Faktorisiere $x'$ aus ${x'}^{1}$ heraus.

$x' (2 y) + x' \cdot 1 = - 2 x + 2 y$

Schritt 5.2.4

Faktorisiere $x'$ aus $x' (2 y) + x' \cdot 1$ heraus.

$x' (2 y + 1) = - 2 x + 2 y$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $x' (2 y + 1) = - 2 x + 2 y$ durch $2 y + 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x' (2 y + 1) = - 2 x + 2 y$ durch $2 y + 1$ .

$\frac{x' (2 y + 1)}{2 y + 1} = \frac{- 2 x}{2 y + 1} + \frac{2 y}{2 y + 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 y + 1$ .

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Schritt 5.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x' (2 y + 1)}{2 y + 1} = \frac{- 2 x}{2 y + 1} + \frac{2 y}{2 y + 1}$

Schritt 5.3.2.1.2

Dividiere $x'$ durch $1$ .

$x' = \frac{- 2 x}{2 y + 1} + \frac{2 y}{2 y + 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x' = \frac{- 2 x + 2 y}{2 y + 1}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x + 2 y$ heraus.

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Schritt 5.3.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x$ heraus.

$x' = \frac{2 (- x) + 2 y}{2 y + 1}$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$x' = \frac{2 (- x) + 2 (y)}{2 y + 1}$

Schritt 5.3.3.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x) + 2 (y)$ heraus.

$x' = \frac{2 (- x + y)}{2 y + 1}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$x' = \frac{2 (- (x) + y)}{2 y + 1}$

Schritt 5.3.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$x' = \frac{2 (- (x) - 1 (- y))}{2 y + 1}$

Schritt 5.3.3.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- y)$ heraus.

$x' = \frac{2 (- (x - y))}{2 y + 1}$

Schritt 5.3.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.3.6.1

Schreibe $- (x - y)$ als $- 1 (x - y)$ um.

$x' = \frac{2 (- 1 (x - y))}{2 y + 1}$

Schritt 5.3.3.6.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x' = - \frac{2 (x - y)}{2 y + 1}$

Schritt 6

Ersetze $x'$ durch $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{2 (x - y)}{2 y + 1}$