Analysis Beispiele

$x - \frac{1}{x}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Schritt 1.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x}]$ .

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Schritt 1.2.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = - 1$ und $g (x) = \frac{1}{x}$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.2

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$1 - \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 1.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 - - x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Schritt 1.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 + 1 x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Schritt 1.2.6

Mutltipliziere $x^{- 2}$ mit $1$ .

$1 + x^{- 2} + \frac{1}{x} \cdot 0$

Schritt 1.2.7

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $0$ .

$1 + x^{- 2} + 0$

Schritt 1.2.8

Addiere $x^{- 2}$ und $0$ .

$1 + x^{- 2}$

Schritt 1.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$1 + \frac{1}{x^{2}}$

Schritt 1.4

Stelle die Terme um.

$f' (x) = \frac{1}{x^{2}} + 1$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{x^{2}} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

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Schritt 2.2.1

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$\frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 2.2.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.2.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- {(x^{2})}^{- 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.4

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.2.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- x^{2 \cdot - 2} (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- x^{- 4} (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 x^{- 4} x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.6

Potenziere $x$ mit $1$ .

$- 2 (x^{1} x^{- 4}) + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.7

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 2 x^{1 - 4} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.2.8

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$- 2 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$- 2 x^{- 3} + 0$

Schritt 2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.4.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{x^{3}} + 0$

Schritt 2.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 2.4.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 2}{x^{3}} + 0$

Schritt 2.4.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{x^{3}} + 0$

Schritt 2.4.2.3

Addiere $- \frac{2}{x^{3}}$ und $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x^{3}}$