Analysis Beispiele

$lim_{x \to 2} - \frac{x^{2}}{2} - x + \frac{5}{2}$

Schritt 1

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $2$ annähert.

$- lim_{x \to 2} \frac{x^{2}}{2} - lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} \frac{5}{2}$

Schritt 2

Ziehe den Term $\frac{1}{2}$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$- \frac{1}{2} lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} \frac{5}{2}$

Schritt 3

Ziehe den Exponenten $2$ von $x^{2}$ aus dem Grenzwert durch Anwendung der Potenzregel für Grenzwerte.

$- \frac{1}{2} {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} \frac{5}{2}$

Schritt 4

Berechne den Grenzwert von $\frac{5}{2}$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $2$ annähert.

$- \frac{1}{2} {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} x + \frac{5}{2}$

Schritt 5

Berechne die Grenzwerte durch Einsetzen von $2$ für alle $x$ .

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Schritt 5.1

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - lim_{x \to 2} x + \frac{5}{2}$

Schritt 5.2

Berechne den Grenzwert von $x$ durch Einsetzen von $2$ für $x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 2 + \frac{5}{2}$

Schritt 6

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{2}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{2} \cdot 2^{2} - 2 + \frac{5}{2}$

Schritt 6.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2^{2}$ heraus.

$\frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 2 + \frac{5}{2}$

Schritt 6.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 2) - 2 + \frac{5}{2}$

Schritt 6.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- 1 \cdot 2 - 2 + \frac{5}{2}$

Schritt 6.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 - 2 + \frac{5}{2}$

Schritt 6.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 6.2.1

Schreibe $- 2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 2}{1} - 2 + \frac{5}{2}$

Schritt 6.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2} - 2 + \frac{5}{2}$

Schritt 6.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{2} - 2 + \frac{5}{2}$

Schritt 6.2.4

Schreibe $- 2$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} + \frac{5}{2}$

Schritt 6.2.5

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2}$

Schritt 6.2.6

Mutltipliziere $\frac{- 2}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2}$

Schritt 6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{- 2 \cdot 2 - 2 \cdot 2 + 5}{2}$

Schritt 6.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.4.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- 4 - 2 \cdot 2 + 5}{2}$

Schritt 6.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $2$ .

$\frac{- 4 - 4 + 5}{2}$

Schritt 6.5

Subtrahiere $4$ von $- 4$ .

$\frac{- 8 + 5}{2}$

Schritt 6.6

Addiere $- 8$ und $5$ .

$\frac{- 3}{2}$

Schritt 6.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{2}$

Schritt 7

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$- \frac{3}{2}$

Dezimalform:

$- 1.5$