Analysis Beispiele

$y = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} x^{5} - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{5}{9} x$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Differenziere.

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Schritt 1.1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} x^{5} - \frac{1}{3} x^{2} + \frac{5}{9} x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Schritt 1.1.2

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{5}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$0 + \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$0 + \frac{1}{3} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Schritt 1.2.3

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{3}$ .

$0 + \frac{5}{3} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Schritt 1.2.4

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $x^{4}$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{2}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- \frac{1}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{3} x^{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{1}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - 2 (\frac{1}{3}) x + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{3}$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} + \frac{- 2}{3} x + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Schritt 1.3.5

Kombiniere $\frac{- 2}{3}$ und $x$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} + \frac{- 2 x}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Schritt 1.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{5}{9} x]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $\frac{5}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{9} x$ nach $x$ gleich $\frac{5}{9} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9} \cdot 1$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $\frac{5}{9}$ mit $1$ .

$0 + \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9}$

Schritt 1.5

Addiere $0$ und $\frac{5 x^{4}}{3}$ .

$f' (x) = \frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{5 x^{4}}{3} - \frac{2 x}{3} + \frac{5}{9}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{5 x^{4}}{3}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $\frac{5}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5 x^{4}}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{5}{3} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$\frac{5}{3} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Schritt 2.2.3

Kombiniere $4$ und $\frac{5}{3}$ .

$\frac{4 \cdot 5}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Schritt 2.2.4

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$\frac{20}{3} x^{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Schritt 2.2.5

Kombiniere $\frac{20}{3}$ und $x^{3}$ .

$\frac{20 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x}{3}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- \frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2 x}{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{5}{9}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.4.1

Da $\frac{5}{9}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{5}{9}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3} + 0$

Schritt 2.4.2

Addiere $\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3}$ und $0$ .

$f'' (x) = \frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 3

Bestimme die dritte Ableitung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{20 x^{3}}{3} - \frac{2}{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{20 x^{3}}{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Da $\frac{20}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{20 x^{3}}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{20}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Schritt 3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{20}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Schritt 3.2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{20}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 20}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Schritt 3.2.4

Mutltipliziere $3$ mit $20$ .

$\frac{60}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Schritt 3.2.5

Kombiniere $\frac{60}{3}$ und $x^{2}$ .

$\frac{60 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Schritt 3.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $60$ und $3$ .

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Schritt 3.2.6.1

Faktorisiere $3$ aus $60 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (20 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Schritt 3.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.6.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\frac{3 (20 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Schritt 3.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 (20 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Schritt 3.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{20 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Schritt 3.2.6.2.4

Dividiere $20 x^{2}$ durch $1$ .

$20 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3}]$

Schritt 3.3

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.3.1

Da $- \frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{2}{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$20 x^{2} + 0$

Schritt 3.3.2

Addiere $20 x^{2}$ und $0$ .

$f''' (x) = 20 x^{2}$