Analysis Beispiele

$y = - \frac{1}{2} x^{4} + 3 x^{\frac{5}{3}} + 2 x$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{1}{2} x^{4} + 3 x^{\frac{5}{3}} + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{4}]$ .

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Schritt 2.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2} x^{4}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 4$ .

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.3

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.4

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.5

Kombiniere $\frac{- 4}{2}$ und $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.6.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 2.6.2.4

Dividiere $- 2 x^{3}$ durch $1$ .

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{5}{3}}]$ .

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Schritt 3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{\frac{5}{3}}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}]$ .

$- 2 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{5}{3}}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{5}{3}$ .

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.3

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.4

Kombiniere $- 1$ und $\frac{3}{3}$ .

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{5 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.6.2

Subtrahiere $3$ von $5$ .

$- 2 x^{3} + 3 (\frac{5}{3} x^{\frac{2}{3}}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.7

Kombiniere $\frac{5}{3}$ und $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- 2 x^{3} + 3 \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.8

Kombiniere $3$ und $\frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{3}$ .

$- 2 x^{3} + \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.9

Mutltipliziere $5$ mit $3$ .

$- 2 x^{3} + \frac{15 x^{\frac{2}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.10

Faktorisiere $3$ aus $15 x^{\frac{2}{3}}$ heraus.

$- 2 x^{3} + \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.11

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.11.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- 2 x^{3} + \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.11.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 2 x^{3} + \frac{3 (5 x^{\frac{2}{3}})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.11.3

Forme den Ausdruck um.

$- 2 x^{3} + \frac{5 x^{\frac{2}{3}}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.11.4

Dividiere $5 x^{\frac{2}{3}}$ durch $1$ .

$- 2 x^{3} + 5 x^{\frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 4

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x^{3} + 5 x^{\frac{2}{3}} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 x^{3} + 5 x^{\frac{2}{3}} + 2 \cdot 1$

Schritt 4.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$- 2 x^{3} + 5 x^{\frac{2}{3}} + 2$