Analysis Beispiele

$\frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ als Funktion.

$f (x) = \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 2

Die Funktion $F (x)$ kann bestimmt werden, indem das unbestimmte Integral der Ableitung $f (x)$ ermittelt wird.

$F (x) = \int f (x) d x$

Schritt 3

Stelle das Integral auf, um zu lösen.

$F (x) = \int \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Schritt 4

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 4.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 4.1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}}$

Schritt 4.1.2

$\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{B}{2 x - 1}$

Schritt 4.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich ${(2 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(4 x - 1) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Schritt 4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(2 x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 4.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{(4 x - 1) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Schritt 4.1.4.2

Dividiere $4 x - 1$ durch $1$ .

$4 x - 1 = \frac{(A) {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Schritt 4.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von ${(2 x - 1)}^{2}$ .

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Schritt 4.1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x - 1 = \frac{A {(2 x - 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Schritt 4.1.5.1.2

Dividiere $A$ durch $1$ .

$4 x - 1 = A + \frac{(B) {(2 x - 1)}^{2}}{2 x - 1}$

Schritt 4.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(2 x - 1)}^{2}$ und $2 x - 1$ .

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Schritt 4.1.5.2.1

Faktorisiere $2 x - 1$ aus $(B) {(2 x - 1)}^{2}$ heraus.

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{2 x - 1}$

Schritt 4.1.5.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.1.5.2.2.1

Multipliziere mit $1$ .

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{(2 x - 1) \cdot 1}$

Schritt 4.1.5.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$4 x - 1 = A + \frac{(2 x - 1) (B (2 x - 1))}{(2 x - 1) \cdot 1}$

Schritt 4.1.5.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$4 x - 1 = A + \frac{B (2 x - 1)}{1}$

Schritt 4.1.5.2.2.4

Dividiere $B (2 x - 1)$ durch $1$ .

$4 x - 1 = A + B (2 x - 1)$

Schritt 4.1.5.3

Wende das Distributivgesetz an.

$4 x - 1 = A + B (2 x) + B \cdot - 1$

Schritt 4.1.5.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 x - 1 = A + 2 B x + B \cdot - 1$

Schritt 4.1.5.5

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $B$ .

$4 x - 1 = A + 2 B x - 1 \cdot B$

Schritt 4.1.5.6

Schreibe $- 1 B$ als $- B$ um.

$4 x - 1 = A + 2 B x - B$

Schritt 4.1.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.1.6.1

Bewege $B$ .

$4 x - 1 = A + 2 x B - B$

Schritt 4.1.6.2

Stelle $A$ und $2 x B$ um.

$4 x - 1 = 2 x B + A - B$

Schritt 4.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 4.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$4 = 2 B$

Schritt 4.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$- 1 = A - 1 B$

Schritt 4.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$4 = 2 B$

$- 1 = A - 1 B$

$4 = 2 B$

$- 1 = A - 1 B$

Schritt 4.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 4.3.1

Löse in $4 = 2 B$ nach $B$ auf.

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Schritt 4.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $2 B = 4$ um.

$2 B = 4$

$- 1 = A - 1 B$

Schritt 4.3.1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 B = 4$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 B = 4$ durch $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

Schritt 4.3.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 B}{2} = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

Schritt 4.3.1.2.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

$B = \frac{4}{2}$

$- 1 = A - 1 B$

Schritt 4.3.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1.2.3.1

Dividiere $4$ durch $2$ .

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

$B = 2$

$- 1 = A - 1 B$

Schritt 4.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $2$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.3.2.1

Ersetze alle $B$ in $- 1 = A - 1 B$ durch $2$ .

$- 1 = A - 1 \cdot 2$

$B = 2$

Schritt 4.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

$- 1 = A - 2$

$B = 2$

Schritt 4.3.3

Löse in $- 1 = A - 2$ nach $A$ auf.

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Schritt 4.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $A - 2 = - 1$ um.

$A - 2 = - 1$

$B = 2$

Schritt 4.3.3.2

Bringe alle Terme, die nicht $A$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.3.2.1

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$A = - 1 + 2$

$B = 2$

Schritt 4.3.3.2.2

Addiere $- 1$ und $2$ .

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

$A = 1$

$B = 2$

Schritt 4.3.4

Löse das Gleichungssystem.

$A = 1 B = 2$

Schritt 4.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = 1, B = 2$

Schritt 4.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{B}{2 x - 1}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{2}{2 x - 1}$

Schritt 4.5

Entferne die Null aus dem Ausdruck.

$\int \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} + \frac{2}{2 x - 1} d x$

Schritt 5

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \frac{1}{{(2 x - 1)}^{2}} d x + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Schritt 6

Sei $u_{1} = 2 x - 1$ . Dann ist $d u_{1} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 6.1

Es sei $u_{1} = 2 x - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Schritt 6.1.1

Differenziere $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 6.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 6.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 6.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 6.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 6.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 6.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 6.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 6.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 6.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Schritt 7

Vereinfache.

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $\frac{1}{{u_{1}}^{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{{u_{1}}^{2} \cdot 2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Schritt 7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von ${u_{1}}^{2}$ .

$\int \frac{1}{2 {u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Schritt 8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{{u_{1}}^{2}} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Schritt 9

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 9.1

Bringe ${u_{1}}^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {({u_{1}}^{2})}^{- 1} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Schritt 9.2

Multipliziere die Exponenten in ${({u_{1}}^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 9.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{2 \cdot - 1} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Schritt 9.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {u_{1}}^{- 2} d u_{1} + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Schritt 10

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von ${u_{1}}^{- 2}$ nach $u_{1}$ gleich $- {u_{1}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{2}{2 x - 1} d x$

Schritt 11

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{2 x - 1} d x$

Schritt 12

Sei $u_{2} = 2 x - 1$ . Dann ist $d u_{2} = 2 d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 12.1

Es sei $u_{2} = 2 x - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 12.1.1

Differenziere $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Schritt 12.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 12.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 12.1.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 12.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 12.1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 12.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 12.1.4.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 + 0$

Schritt 12.1.4.2

Addiere $2$ und $0$ .

$2$

Schritt 12.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 13

Vereinfache.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 13.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 14

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Schritt 15

Vereinfache.

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Schritt 15.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 15.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \frac{2}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 15.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + 1 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 15.3

Mutltipliziere $\int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 16

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} (- {u_{1}}^{- 1} + C) + \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 17

Vereinfache.

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Schritt 17.1

Vereinfache.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{u_{1}}) + \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 17.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{u_{1}}$ .

$- \frac{1}{2 u_{1}} + \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 18

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 18.1

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 x - 1$ .

$- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| u_{2} |) + C$

Schritt 18.2

Ersetze alle $u_{2}$ durch $2 x - 1$ .

$- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| 2 x - 1 |) + C$

Schritt 19

Die Lösung ist die Stammfunktion der Funktion $f (x) = \frac{4 x - 1}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{2 (2 x - 1)} + \ln (| 2 x - 1 |) + C$