Analysis Beispiele

$y = - 2 x^{2} - \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{5} x^{- 4}$

Schritt 1

Bestimme die erste Ableitung.

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Schritt 1.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- 2 x^{2} - \frac{1}{2} x^{3} + \frac{1}{5} x^{- 4}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{- 4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{- 4}]$

Schritt 1.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 x^{2}$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{- 4}]$

Schritt 1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{- 4}]$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$- 4 x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{- 4}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{2} x^{3}]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{1}{2} x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 x - \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{- 4}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$- 4 x - \frac{1}{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{- 4}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- 4 x - 3 (\frac{1}{2}) x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{- 4}]$

Schritt 1.3.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 4 x + \frac{- 3}{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{- 4}]$

Schritt 1.3.5

Kombiniere $\frac{- 3}{2}$ und $x^{2}$ .

$- 4 x + \frac{- 3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{- 4}]$

Schritt 1.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 4 x - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{- 4}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{- 4}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $\frac{1}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{5} x^{- 4}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$ .

$- 4 x - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 4$ .

$- 4 x - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{1}{5} (- 4 x^{- 5})$

Schritt 1.4.3

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{5}$ .

$- 4 x - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{- 4}{5} x^{- 5}$

Schritt 1.4.4

Kombiniere $\frac{- 4}{5}$ und $x^{- 5}$ .

$- 4 x - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{- 4 x^{- 5}}{5}$

Schritt 1.4.5

Bringe $x^{- 5}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 x - \frac{3 x^{2}}{2} + \frac{- 4}{5 x^{5}}$

Schritt 1.4.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- 4 x - \frac{3 x^{2}}{2} - \frac{4}{5 x^{5}}$

Schritt 1.5

Stelle die Terme um.

$f' (x) = - \frac{3 x^{2}}{2} - 4 x - \frac{4}{5 x^{5}}$

Schritt 2

Bestimme die zweite Ableitung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $- \frac{3 x^{2}}{2} - 4 x - \frac{4}{5 x^{5}}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{3 x^{2}}{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Da $- \frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{3 x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.2.3

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.2.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.2.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$\frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.2.6

Kombiniere $\frac{- 6}{2}$ und $x$ .

$\frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.2.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $2$ .

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Schritt 2.2.7.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6 x$ heraus.

$\frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.2.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.2.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.2.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.2.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.2.7.2.4

Dividiere $- 3 x$ durch $1$ .

$- 3 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 4 x$ nach $x$ gleich $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 3 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 3 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$- 3 x - 4 + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$

Schritt 2.4

Berechne $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{5 x^{5}}]$ .

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Schritt 2.4.1

Da $- \frac{4}{5}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{4}{5 x^{5}}$ nach $x$ gleich $- \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$- 3 x - 4 - \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$

Schritt 2.4.2

Schreibe $\frac{1}{x^{5}}$ als ${(x^{5})}^{- 1}$ um.

$- 3 x - 4 - \frac{4}{5} \frac{d}{d x} [{(x^{5})}^{- 1}]$

Schritt 2.4.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{5}$ .

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Schritt 2.4.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{5}$ .

$- 3 x - 4 - \frac{4}{5} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 2.4.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$- 3 x - 4 - \frac{4}{5} (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 2.4.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{5}$ .

$- 3 x - 4 - \frac{4}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{5}])$

Schritt 2.4.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 5$ .

$- 3 x - 4 - \frac{4}{5} (- {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4}))$

Schritt 2.4.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{5})}^{- 2}$ .

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Schritt 2.4.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 3 x - 4 - \frac{4}{5} (- x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4}))$

Schritt 2.4.5.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 2$ .

$- 3 x - 4 - \frac{4}{5} (- x^{- 10} (5 x^{4}))$

Schritt 2.4.6

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$- 3 x - 4 - \frac{4}{5} (- 5 x^{- 10} x^{4})$

Schritt 2.4.7

Multipliziere $x^{- 10}$ mit $x^{4}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.7.1

Bewege $x^{4}$ .

$- 3 x - 4 - \frac{4}{5} (- 5 (x^{4} x^{- 10}))$

Schritt 2.4.7.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$- 3 x - 4 - \frac{4}{5} (- 5 x^{4 - 10})$

Schritt 2.4.7.3

Subtrahiere $10$ von $4$ .

$- 3 x - 4 - \frac{4}{5} (- 5 x^{- 6})$

Schritt 2.4.8

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$- 3 x - 4 + 5 (\frac{4}{5}) x^{- 6}$

Schritt 2.4.9

Kombiniere $5$ und $\frac{4}{5}$ .

$- 3 x - 4 + \frac{5 \cdot 4}{5} x^{- 6}$

Schritt 2.4.10

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$- 3 x - 4 + \frac{20}{5} x^{- 6}$

Schritt 2.4.11

Kombiniere $\frac{20}{5}$ und $x^{- 6}$ .

$- 3 x - 4 + \frac{20 x^{- 6}}{5}$

Schritt 2.4.12

Bringe $x^{- 6}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 x - 4 + \frac{20}{5 x^{6}}$

Schritt 2.4.13

Kürze den gemeinsamen Teiler von $20$ und $5$ .

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Schritt 2.4.13.1

Faktorisiere $5$ aus $20$ heraus.

$- 3 x - 4 + \frac{5 \cdot 4}{5 x^{6}}$

Schritt 2.4.13.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.4.13.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5 x^{6}$ heraus.

$- 3 x - 4 + \frac{5 \cdot 4}{5 (x^{6})}$

Schritt 2.4.13.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 3 x - 4 + \frac{5 \cdot 4}{5 x^{6}}$

Schritt 2.4.13.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- 3 x - 4 + \frac{4}{x^{6}}$

Schritt 2.5

Stelle die Terme um.

$f'' (x) = - 3 x + \frac{4}{x^{6}} - 4$