Analysis Beispiele

$- \frac{5}{6 \sqrt{x^{3}}}$

Schritt 1

Schreibe $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 \sqrt{x^{3}}}]$ als $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 (x \sqrt{x})}]$ um.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus.

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 \sqrt{x^{2} x}}]$

Schritt 1.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 (x \sqrt{x})}]$

Schritt 2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 (x \cdot x^{\frac{1}{2}})}]$

Schritt 3

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 (x^{1} x^{\frac{1}{2}})}]$

Schritt 3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{1 + \frac{1}{2}}}]$

Schritt 3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}}}]$

Schritt 3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{\frac{2 + 1}{2}}}]$

Schritt 3.4

Addiere $2$ und $1$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{5}{6 x^{\frac{3}{2}}}]$

Schritt 4

Da $- \frac{5}{6}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{5}{6 x^{\frac{3}{2}}}$ nach $x$ gleich $- \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$ .

$- \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}]$

Schritt 5

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 5.1

Schreibe $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}}}$ als ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ um.

$- \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [{(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}]$

Schritt 5.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2} \cdot - 1}]$

Schritt 5.2.2

Multipliziere $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 5.2.2.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 1$ .

$- \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3 \cdot - 1}{2}}]$

Schritt 5.2.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$- \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [x^{\frac{- 3}{2}}]$

Schritt 5.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{6} \frac{d}{d x} [x^{- \frac{3}{2}}]$

Schritt 6

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - \frac{3}{2}$ .

$- \frac{5}{6} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1})$

Schritt 7

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5}{6} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Schritt 8

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{5}{6} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 9

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$- \frac{5}{6} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Schritt 10

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 10.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- \frac{5}{6} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 3 - 2}{2}})$

Schritt 10.2

Subtrahiere $2$ von $- 3$ .

$- \frac{5}{6} (- \frac{3}{2} x^{\frac{- 5}{2}})$

Schritt 11

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5}{6} (- \frac{3}{2} x^{- \frac{5}{2}})$

Schritt 12

Kombiniere $x^{- \frac{5}{2}}$ und $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{5}{6} (- \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2})$

Schritt 13

Multipliziere.

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Schritt 13.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 (\frac{5}{6}) \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Schritt 13.2

Mutltipliziere $\frac{5}{6}$ mit $1$ .

$\frac{5}{6} \cdot \frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$

Schritt 14

Mutltipliziere $\frac{5}{6}$ mit $\frac{x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3}{2}$ .

$\frac{5 (x^{- \frac{5}{2}} \cdot 3)}{6 \cdot 2}$

Schritt 15

Multipliziere.

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Schritt 15.1

Mutltipliziere $3$ mit $5$ .

$\frac{15 x^{- \frac{5}{2}}}{6 \cdot 2}$

Schritt 15.2

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\frac{15 x^{- \frac{5}{2}}}{12}$

Schritt 15.3

Bringe $x^{- \frac{5}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{15}{12 x^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 16

Faktorisiere $3$ aus $15$ heraus.

$\frac{3 (5)}{12 x^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 17

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 17.1

Faktorisiere $3$ aus $12 x^{\frac{5}{2}}$ heraus.

$\frac{3 (5)}{3 (4 x^{\frac{5}{2}})}$

Schritt 17.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 \cdot 5}{3 (4 x^{\frac{5}{2}})}$

Schritt 17.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{5}{4 x^{\frac{5}{2}}}$