Analysis Beispiele

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2}}$

Schritt 1

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{5}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}$

Schritt 1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{5}{x^{2}}}{1}$

Schritt 1.2

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Quotientenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 1.3

Zerlege den Grenzwert unter Anwendung der Summenregel für Grenzwerte auf den Grenzwert, wenn $x$ sich an $\infty$ annähert.

$\frac{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 1.4

Berechne den Grenzwert von $2$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{2 + lim_{x \to \infty} \frac{5}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 1.5

Ziehe den Term $5$ aus dem Grenzwert, da er konstant bezüglich $x$ ist.

$\frac{2 + 5 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 2

Da sein Zähler sich einer reellen Zahl nähert, während sein Nenner unbegrenzt ist, nähert sich der Bruch $\frac{1}{x^{2}}$ $0$ .

$\frac{2 + 5 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}$

Schritt 3

Berechne den Grenzwert.

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Schritt 3.1

Berechne den Grenzwert von $1$ , welcher konstant ist, wenn $x$ sich $\infty$ annähert.

$\frac{2 + 5 \cdot 0}{1}$

Schritt 3.2

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 3.2.1

Dividiere $2 + 5 \cdot 0$ durch $1$ .

$2 + 5 \cdot 0$

Schritt 3.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $0$ .

$2 + 0$

Schritt 3.2.3

Addiere $2$ und $0$ .

$2$