Analysis Beispiele

$y^{2} + 3 x^{2} = y^{3} - x^{3}$

Schritt 1

Differenziere beide Seiten der Gleichung.

$\frac{d}{d x} (y^{2} + 3 x^{2}) = \frac{d}{d x} (y^{3} - x^{3})$

Schritt 2

Differenziere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + 3 x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Schritt 2.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{2}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 2.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$2 y y' + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{2}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 y y' + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 y y' + 3 (2 x)$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$2 y y' + 6 x$

Schritt 3

Differenziere die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} - x^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 3.2

Berechne $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Schritt 3.2.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{3}$ und $g (x) = y$ .

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Schritt 3.2.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 3.2.1.3

Ersetze alle $u$ durch $y$ .

$3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 3.2.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- x^{3}$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 y^{2} y' - (3 x^{2})$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$3 y^{2} y' - 3 x^{2}$

Schritt 3.4

Stelle die Terme um.

$- 3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Schritt 4

Forme die Gleichung um durch Gleichsetzen der linken Seite mit der rechten Seite.

$2 y y' + 6 x = - 3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Schritt 5

Löse nach $y'$ auf.

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Schritt 5.1

Subtrahiere $3 y^{2} y'$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' + 6 x - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Schritt 5.2

Subtrahiere $6 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 y y' - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x$

Schritt 5.3

Faktorisiere $y y'$ aus $2 y y' - 3 y^{2} y'$ heraus.

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Schritt 5.3.1

Faktorisiere $y y'$ aus $2 y y'$ heraus.

$y y' \cdot 2 - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 6 x$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $y y'$ aus $- 3 y^{2} y'$ heraus.

$y y' \cdot 2 + y y' (- 3 y) = - 3 x^{2} - 6 x$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y y'$ aus $y y' \cdot 2 + y y' (- 3 y)$ heraus.

$y y' (2 - 3 y) = - 3 x^{2} - 6 x$

Schritt 5.4

Teile jeden Ausdruck in $y y' (2 - 3 y) = - 3 x^{2} - 6 x$ durch $y (2 - 3 y)$ und vereinfache.

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Schritt 5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y y' (2 - 3 y) = - 3 x^{2} - 6 x$ durch $y (2 - 3 y)$ .

$\frac{y y' (2 - 3 y)}{y (2 - 3 y)} = \frac{- 3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} + \frac{- 6 x}{y (2 - 3 y)}$

Schritt 5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y y' (2 - 3 y)}{y (2 - 3 y)} = \frac{- 3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} + \frac{- 6 x}{y (2 - 3 y)}$

Schritt 5.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y' (2 - 3 y)}{2 - 3 y} = \frac{- 3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} + \frac{- 6 x}{y (2 - 3 y)}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 - 3 y$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y' (2 - 3 y)}{2 - 3 y} = \frac{- 3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} + \frac{- 6 x}{y (2 - 3 y)}$

Schritt 5.4.2.2.2

Dividiere $y'$ durch $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} + \frac{- 6 x}{y (2 - 3 y)}$

Schritt 5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} + \frac{- 6 x}{y (2 - 3 y)}$

Schritt 5.4.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} - \frac{6 x}{y (2 - 3 y)}$

Schritt 6

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2}}{y (2 - 3 y)} - \frac{6 x}{y (2 - 3 y)}$