Analysis Beispiele

$y = \frac{x^{3}}{12} + \frac{1}{x}$

Schritt 1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{x^{3}}{12} + \frac{1}{x}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{12}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{12}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{12}]$ .

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Schritt 2.1

Da $\frac{1}{12}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{x^{3}}{12}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{1}{12} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.3

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{12}$ .

$\frac{3}{12} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.4

Kombiniere $\frac{3}{12}$ und $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{12} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $12$ .

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x^{2}$ heraus.

$\frac{3 (x^{2})}{12} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$\frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x^{2}}{3 \cdot 4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Schritt 3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Schritt 3.1

Schreibe $\frac{1}{x}$ als $x^{- 1}$ um.

$\frac{x^{2}}{4} + \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{x^{2}}{4} - x^{- 2}$

Schritt 4

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x^{2}}{4} - \frac{1}{x^{2}}$